Uma carga q=0,8 nC entra em uma região com um campo magnético uniforme dado por B=(0,02 x-0,04 y) T com uma velocidade v=(200 x+400 y-300 z) m / s. Determine: (a) O ângulo entre os vetores v e B; (b) as componentes do vetor força magnética em N; © o módulo da força magnética em N.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma carga elétrica de que entra numa região com um campo magnético uniforme . A velocidade da carga é . Precisamos determinar três coisas:
(a) O ângulo entre os vetores e ;
(b) As componentes do vetor força magnética em Newtons;
© O módulo da força magnética em Newtons.
Pra resolver isso, vamos usar conceitos de física envolvendo vetores, produto vetorial e força magnética. Bora passo a passo!

Passo 2

Parte (a): Encontrar o ângulo entre v cdot B = |v| , |B| cos(theta) e
Primeiro, vamos lembrar que o ângulo entre dois vetores pode ser encontrado usando a fórmula do produto escalar:
Então, precisamos calcular o produto escalar de e , e também os módulos desses vetores.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar v cdot B = (200)(0,02) + (400)(-0,04) + (-300)(0) = 4 - 16 + 0 = -12 :
|v| = raiz200^2 + 400^2 + (-300)^2 = raiz40000 + 160000 + 90000 = raiz290000 approx 538,52 , m/s
Agora, vamos calcular os módulos dos vetores:
|B| = raiz0,02^2 + (-0,04)^2 = raiz0,0004 + 0,0016 = raiz0,002 approx 0,0447 , T

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula para encontrar o ângulo -12 = 538,52 times 0,0447 times cos(theta) :
-12 = 24,08 times cos(theta)
cos(theta) = -1224,08 approx -0,498
theta = arccos(-0,498) approx 119,9^circ
Para encontrar , usamos a função arco cosseno:

Passo 5

Parte (b): Encontrar as componentes do vetor força magnética
A força magnética F = q , v times B é dada pela fórmula do produto vetorial:
Vamos calcular o produto vetorial .

Passo 6

Calculando v times B = x & y & z 200 & 400 & -300 0,02 & -0,04 & 0 :
= x(400 times 0 - (-300) times (-0,04)) - y(200 times 0 - (-300) times 0,02) + z(200 times (-0,04) - 400 times 0,02)
= x(0 - 12) - y(0 - (-6)) + z(-8 - 8)
= -12,x + 6,y -16,z
F = 0,8 times 10^-9 times (-12,x + 6,y -16,z) = (-9,6 times 10^-9),x + (4,8 times 10^-9),y - (12,8 times 10^-9),z , N
Multiplicando pela carga :

Passo 7

Parte ©: Encontrar o módulo da força magnética
Agora, vamos calcular o módulo da força |F| = raiz(-9,6 times 10^-9)^2 + (4,8 times 10^-9)^2 + (-12,8 times 10^-9)^2 que temos as componentes:
= raiz92,16 times 10^-18 + 23,04 times 10^-18 + 163,84 times 10^-18 = raiz279,04 times 10^-18 approx 16,7 times 10^-9 , N

Resposta

(a) O ângulo entre F = (-9,6 times 10^-9),x + (4,8 times 10^-9),y - (12,8 times 10^-9),z , N e é aproximadamente .
(b) As componentes do vetor força magnética são:
© O m��dulo da força magnética é aproximadamente .

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