Uma carga negativa está distribuída uniformemente sobre uma casca esférica isolante fina, de raio . Calcule a força (módulo, direção e sentido) que essa casca esférica exerce sobre uma carga puntiforme positiva , localizada
(a) a uma distância do centro da esfera (no exterior da casca);
(b) a uma distância do centro da esfera (dentro da casca).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos uma carga negativa distribuída de forma uniforme em uma casca esférica isolante fina com raio . Precisamos calcular a força que essa casca exerce sobre uma carga pontual positiva , em duas situações diferentes:
(a) Quando a carga está a uma distância do centro da esfera (ou seja, fora da casca);
(b) Quando a carga está a uma distância do centro da esfera (dentro da casca).
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de campo elétrico e Lei de Coulomb, além de algumas propriedades importantes de campos elétricos em distribuições simétricas como cascas esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o campo elétrico criado por uma casca esférica carregada. Para isso, usamos o Teorema de Gauss, que nos ajuda a calcular campos elétricos com alta simetria.
Segundo o Teorema de Gauss, se tivermos uma distribuição de carga com simetria esférica, como uma casca esférica carregada uniformemente, podemos considerar:
  • Fora da casca ( ): O campo elétrico se comporta como se toda a carga estivesse concentrada no centro da esfera.
  • Dentro da casca ( ): O campo elétrico é zero.

Passo 3

Vamos aplicar esses conceitos para o caso (a):
(a) Quando (fora da casca):
Aqui, a carga pontual está fora da casca esférica carregada. Pelo Teorema de Gauss, o campo elétrico criado pela casca nessa região é equivalente ao campo de uma carga concentrada no centro da casca.
A fórmula do campo elétrico devido a uma carga pontual é:
onde:
  • é a constante eletrostática ( ²²),
  • é a carga central,
  • é a distância do centro da carga.
Como a casca tem carga , o campo elétrico será:

Passo 4

Agora, a força elétrica exercida sobre a carga pela casca é dada pela Lei de Coulomb:
Substituindo o valor de que encontramos:
O sinal negativo indica que a força é atrativa, já que estamos lidando com cargas de sinais opostos.

Passo 5

Então, para o caso (a), a força tem módulo:
A direção da força é radial, apontando para o centro da casca, e o sentido é atrativo, ou seja, a carga é puxada em direção à casca esférica.

Passo 6

Agora, vamos para o caso (b):
(b) Quando (dentro da casca):
Nesse cenário, a carga está localizada dentro da casca esférica carregada. Novamente, aplicando o Teorema de Gauss, sabemos que o campo elétrico dentro de uma casca esférica carregada uniformemente é zero.
Se o campo elétrico é zero, então a força elétrica sobre a carga também será zero:

Resposta

(a) Quando a carga está fora da casca ( ), a força exercida pela casca sobre é:
Essa força é atrativa, apontando radialmente para o centro da casca.
(b) Quando a carga está dentro da casca ( ), a força exercida pela casca sobre é zero:

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Considere uma massa m se movendo em um plano inclinado sem atrito e com uma inclinação . Escreva o Lagrangeano e ache a aceleração ao longo da inclinação. Resp.:
Uma esfera metálica com raio a está apoiada sobre uma base isolada no centro de uma casca esférica metálica com raio externo . Existe uma carga na esfera interna e uma carga na esfera externa.
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(b) Mostre que o potencial da esfera interna em relação à esfera externa é dado por
© Use a Equação 23.23 e o resultado do item (a) para mostrar que o campo elétrico em qualquer ponto entre as esferas possui módulo dado por
(d) Aplique a Equação 23.23 e o resultado do item (a) para calcular o campo elétrico em um ponto fora da esfera maior a uma distância do centro, sendo . (e) Suponha que a carga na esfera externa não seja , mas uma carga negativa de módulo diferente, digamos, . Mostre que as respostas dos itens (b) e © não se alteram, porém a resposta do item (d) torna-se diferente.
(a) , e depois e empatados; (b) , depois e empatados, depois 3. todas iguais 5. (a) diminuir; (b) horário; © anti-horário 7. aumentar 9. , , 11. menor