Uma carga negativa -Q está distribuída uniformemente sobre uma casca esférica isolante fina, de raio R. Calcule a força (módulo, direção e sentido) que essa casca esférica exerce sobre uma carga puntiforme positiva q, localizada
(a) a uma distância r>R do centro da esfera (no exterior da casca);
(b) a uma distância r do centro da esfera (dentro da casca).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos uma carga negativa -Q distribuída de forma uniforme em uma casca esférica isolante fina com raio R. Precisamos calcular a força que essa casca exerce sobre uma carga pontual positiva q, em duas situações diferentes:
(a) Quando a carga q está a uma distância r > R do centro da esfera (ou seja, fora da casca);
(b) Quando a carga q está a uma distância r < R do centro da esfera (dentro da casca).
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de campo elétrico e Lei de Coulomb, além de algumas propriedades importantes de campos elétricos em distribuições simétricas como cascas esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o campo elétrico criado por uma casca esférica carregada. Para isso, usamos o Teorema de Gauss, que nos ajuda a calcular campos elétricos com alta simetria.
Segundo o Teorema de Gauss, se tivermos uma distribuição de carga com simetria esférica, como uma casca esférica carregada uniformemente, podemos considerar:
  • Fora da casca ( r > R): O campo elétrico se comporta como se toda a carga estivesse concentrada no centro da esfera.
  • Dentro da casca ( r < R): O campo elétrico é zero.

Passo 3

Vamos aplicar esses conceitos para o caso (a):
(a) Quando r > R (fora da casca):
Aqui, a carga pontual q está fora da casca esférica carregada. Pelo Teorema de Gauss, o campo elétrico criado pela casca nessa região é equivalente ao campo de uma carga -Q concentrada no centro da casca.
A fórmula do campo elétrico E devido a uma carga pontual é:
E = k cdot Qr^2
onde:
  • k é a constante eletrostática ( k approx 8,99 times 10^9 , N·m²/C²²²),
  • Q é a carga central,
  • r é a distância do centro da carga.
Como a casca tem carga -Q, o campo elétrico será:
E = k cdot (-Q)r^2

Passo 4

Agora, a força elétrica F exercida sobre a carga q pela casca é dada pela Lei de Coulomb:
F = q cdot E
Substituindo o valor de E que encontramos:
F = q cdot ( k cdot (-Q)r^2 ) = -k cdot q cdot Qr^2
O sinal negativo indica que a força é atrativa, já que estamos lidando com cargas de sinais opostos.

Passo 5

Então, para o caso (a), a força tem módulo:
F = k cdot q cdot Qr^2
A direção da força é radial, apontando para o centro da casca, e o sentido é atrativo, ou seja, a carga q é puxada em direção à casca esférica.

Passo 6

Agora, vamos para o caso (b):
(b) Quando r < R (dentro da casca):
Nesse cenário, a carga q está localizada dentro da casca esférica carregada. Novamente, aplicando o Teorema de Gauss, sabemos que o campo elétrico dentro de uma casca esférica carregada uniformemente é zero.
Se o campo elétrico E é zero, então a força elétrica F sobre a carga q também será zero:
F = q cdot E = q cdot 0 = 0

Resposta

(a) Quando a carga q está fora da casca ( r > R), a força exercida pela casca sobre q é:
F = k cdot q cdot Qr^2
Essa força é atrativa, apontando radialmente para o centro da casca.
(b) Quando a carga q está dentro da casca ( r < R), a força exercida pela casca sobre q é zero:
F = 0

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