Uma carga negativa
está distribuída uniformemente sobre uma casca esférica isolante fina, de raio
. Calcule a força (módulo, direção e sentido) que essa casca esférica exerce sobre uma carga puntiforme positiva
, localizada
(a) a uma distância
do centro da esfera (no exterior da casca);
(b) a uma distância
do centro da esfera (dentro da casca).
(a) a uma distância
(b) a uma distância
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos uma carga negativa
distribuída de forma uniforme em uma casca esférica isolante fina com raio
. Precisamos calcular a força que essa casca exerce sobre uma carga pontual positiva
, em duas situações diferentes:
(a) Quando a carga está a uma distância
do centro da esfera (ou seja, fora da casca);
(b) Quando a carga está a uma distância
do centro da esfera (dentro da casca).
(a) Quando a carga
(b) Quando a carga
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de campo elétrico e Lei de Coulomb, além de algumas propriedades importantes de campos elétricos em distribuições simétricas como cascas esféricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o campo elétrico criado por uma casca esférica carregada. Para isso, usamos o Teorema de Gauss, que nos ajuda a calcular campos elétricos com alta simetria.
Segundo o Teorema de Gauss, se tivermos uma distribuição de carga com simetria esférica, como uma casca esférica carregada uniformemente, podemos considerar:
- Fora da casca (
): O campo elétrico se comporta como se toda a carga estivesse concentrada no centro da esfera. - Dentro da casca (
): O campo elétrico é zero.
Passo 3
Vamos aplicar esses conceitos para o caso (a):
(a) Quando
(fora da casca):
Aqui, a carga pontual
está fora da casca esférica carregada. Pelo Teorema de Gauss, o campo elétrico criado pela casca nessa região é equivalente ao campo de uma carga
concentrada no centro da casca.
A fórmula do campo elétrico
devido a uma carga pontual é:
onde:
-
é a constante eletrostática ( ), -
é a carga central, -
é a distância do centro da carga.
Como a casca tem carga
, o campo elétrico será:
Passo 4
Agora, a força elétrica
exercida sobre a carga
pela casca é dada pela Lei de Coulomb:
Substituindo o valor de
que encontramos:
O sinal negativo indica que a força é atrativa, já que estamos lidando com cargas de sinais opostos.
Passo 5
Então, para o caso (a), a força tem módulo:
A direção da força é radial, apontando para o centro da casca, e o sentido é atrativo, ou seja, a carga
é puxada em direção à casca esférica.
Passo 6
Agora, vamos para o caso (b):
(b) Quando
(dentro da casca):
Nesse cenário, a carga
está localizada dentro da casca esférica carregada. Novamente, aplicando o Teorema de Gauss, sabemos que o campo elétrico dentro de uma casca esférica carregada uniformemente é zero.
Se o campo elétrico
é zero, então a força elétrica
sobre a carga
também será zero:
Resposta
(a) Quando a carga
está fora da casca (
), a força exercida pela casca sobre
é:
Essa força é atrativa, apontando radialmente para o centro da casca.
(b) Quando a carga
está dentro da casca (
), a força exercida pela casca sobre
é zero:
Exercícios relacionados
Use as equações de Lagrange para resolver a Máquina de Atwood incluindo uma roldana real de raio R com momento de inércia
. Lembre que a energia cinética da polia é
. Resp.:
.
Considere uma massa m se movendo em um plano inclinado sem atrito e com uma inclinação
. Escreva o Lagrangeano e ache a aceleração ao longo da inclinação. Resp.:
Uma esfera metálica com raio
a está apoiada sobre uma base isolada no centro de uma casca esférica metálica com raio externo
. Existe uma carga
na esfera interna e uma carga
na esfera externa.
(a) Determine o potencial para as regiões (i)
; (ii)
; (iii)
. (Dica: o potencial total é dado pela soma dos potenciais de cada esfera.) Considere
igual a zero para
infinito.
(b) Mostre que o potencial da esfera interna em relação à esfera externa é dado por
(a) Determine o potencial
(b) Mostre que o potencial da esfera interna em relação à esfera externa é dado por
© Use a Equação 23.23 e o resultado do item (a) para mostrar que o campo elétrico em qualquer ponto entre as esferas possui módulo dado por
(d) Aplique a Equação 23.23 e o resultado do item (a) para calcular o campo elétrico em um ponto fora da esfera maior a uma distância
do centro, sendo
. (e) Suponha que a carga na esfera externa não seja
, mas uma carga negativa de módulo diferente, digamos,
. Mostre que as respostas dos itens (b) e © não se alteram, porém a resposta do item (d) torna-se diferente.
(a)
,
e depois
e
empatados; (b)
, depois
e
empatados, depois
3. todas iguais 5. (a) diminuir; (b) horário; © anti-horário 7. aumentar 9.
,
,
11. menor