Uma carga negativa
está distribuída uniformemente sobre uma casca esférica isolante fina, de raio
. Calcule a força (módulo, direção e sentido) que essa casca esférica exerce sobre uma carga puntiforme positiva
, localizada
(a) a uma distância
do centro da esfera (no exterior da casca);
(b) a uma distância
do centro da esfera (dentro da casca).
(a) a uma distância
(b) a uma distância
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos uma carga negativa
distribuída de forma uniforme em uma casca esférica isolante fina com raio
. Precisamos calcular a força que essa casca exerce sobre uma carga pontual positiva
, em duas situações diferentes:
(a) Quando a carga está a uma distância
do centro da esfera (ou seja, fora da casca);
(b) Quando a carga está a uma distância
do centro da esfera (dentro da casca).
(a) Quando a carga
(b) Quando a carga
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de campo elétrico e Lei de Coulomb, além de algumas propriedades importantes de campos elétricos em distribuições simétricas como cascas esféricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o campo elétrico criado por uma casca esférica carregada. Para isso, usamos o Teorema de Gauss, que nos ajuda a calcular campos elétricos com alta simetria.
Segundo o Teorema de Gauss, se tivermos uma distribuição de carga com simetria esférica, como uma casca esférica carregada uniformemente, podemos considerar:
- Fora da casca (
): O campo elétrico se comporta como se toda a carga estivesse concentrada no centro da esfera. - Dentro da casca (
): O campo elétrico é zero.
Passo 3
Vamos aplicar esses conceitos para o caso (a):
(a) Quando
(fora da casca):
Aqui, a carga pontual
está fora da casca esférica carregada. Pelo Teorema de Gauss, o campo elétrico criado pela casca nessa região é equivalente ao campo de uma carga
concentrada no centro da casca.
A fórmula do campo elétrico
devido a uma carga pontual é:
onde:
-
é a constante eletrostática ( ), -
é a carga central, -
é a distância do centro da carga.
Como a casca tem carga
, o campo elétrico será:
Passo 4
Agora, a força elétrica
exercida sobre a carga
pela casca é dada pela Lei de Coulomb:
Substituindo o valor de
que encontramos:
O sinal negativo indica que a força é atrativa, já que estamos lidando com cargas de sinais opostos.
Passo 5
Então, para o caso (a), a força tem módulo:
A direção da força é radial, apontando para o centro da casca, e o sentido é atrativo, ou seja, a carga
é puxada em direção à casca esférica.
Passo 6
Agora, vamos para o caso (b):
(b) Quando
(dentro da casca):
Nesse cenário, a carga
está localizada dentro da casca esférica carregada. Novamente, aplicando o Teorema de Gauss, sabemos que o campo elétrico dentro de uma casca esférica carregada uniformemente é zero.
Se o campo elétrico
é zero, então a força elétrica
sobre a carga
também será zero:
Resposta
(a) Quando a carga
está fora da casca (
), a força exercida pela casca sobre
é:
Essa força é atrativa, apontando radialmente para o centro da casca.
(b) Quando a carga
está dentro da casca (
), a força exercida pela casca sobre
é zero: