Use as equações de Lagrange para resolver a Máquina de Atwood incluindo uma roldana real de raio R com momento de inércia
. Lembre que a energia cinética da polia é
. Resp.:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente usar as equações de Lagrange pra resolver a Máquina de Atwood, que é aquele sistema com duas massas penduradas em uma roldana. Mas, dessa vez, a roldana não é perfeita – ela tem um raio
e um momento de inércia
. Para resolver, vamos precisar entender um pouco de energia cinética e como a roldana real afeta o movimento das massas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as energias envolvidas no sistema. Temos duas massas,
e
, cada uma movendo-se verticalmente. A energia cinética das massas é dada por:
Aqui,
é a velocidade das massas.
Passo 3
Agora, a roldana também tem energia cinética devido à sua rotação. A energia cinética da roldana é:
Como a corda não escorrega, a relação entre a velocidade linear das massas e a velocidade angular da roldana é:
Substituindo isso na energia cinética da roldana:
Passo 4
A energia potencial das massas é:
Agora, a Lagrangiana
é a diferença entre a energia cinética total e a energia potencial:
Passo 5
Simplificando a Lagrangiana:
Passo 6
Aplicamos a equação de Lagrange:
Calculando as derivadas:
Passo 7
Substituindo na equação de Lagrange:
Resolvendo para
:
Resposta
A aceleração do sistema é:
Exercícios relacionados
Considere uma massa m se movendo em um plano inclinado sem atrito e com uma inclinação
. Escreva o Lagrangeano e ache a aceleração ao longo da inclinação. Resp.:
Três massas
são colocadas nas posições
e
. Calcule o tensor de inércia em relação aos eixos (
.
Uma carga negativa
está distribuída uniformemente sobre uma casca esférica isolante fina, de raio
. Calcule a força (módulo, direção e sentido) que essa casca esférica exerce sobre uma carga puntiforme positiva
, localizada
(a) a uma distância do centro da esfera (no exterior da casca);
(b) a uma distância do centro da esfera (dentro da casca).
(a) a uma distância
(b) a uma distância
Uma esfera metálica com raio
a está apoiada sobre uma base isolada no centro de uma casca esférica metálica com raio externo
. Existe uma carga
na esfera interna e uma carga
na esfera externa.
(a) Determine o potencial para as regiões (i)
; (ii)
; (iii)
. (Dica: o potencial total é dado pela soma dos potenciais de cada esfera.) Considere
igual a zero para
infinito.
(b) Mostre que o potencial da esfera interna em relação à esfera externa é dado por
(a) Determine o potencial
(b) Mostre que o potencial da esfera interna em relação à esfera externa é dado por
© Use a Equação 23.23 e o resultado do item (a) para mostrar que o campo elétrico em qualquer ponto entre as esferas possui módulo dado por
(d) Aplique a Equação 23.23 e o resultado do item (a) para calcular o campo elétrico em um ponto fora da esfera maior a uma distância
do centro, sendo
. (e) Suponha que a carga na esfera externa não seja
, mas uma carga negativa de módulo diferente, digamos,
. Mostre que as respostas dos itens (b) e © não se alteram, porém a resposta do item (d) torna-se diferente.