Use as equações de Lagrange para resolver a Máquina de Atwood incluindo uma roldana real de raio R com momento de inércia . Lembre que a energia cinética da polia é . Resp.: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente usar as equações de Lagrange pra resolver a Máquina de Atwood, que é aquele sistema com duas massas penduradas em uma roldana. Mas, dessa vez, a roldana não é perfeita – ela tem um raio e um momento de inércia . Para resolver, vamos precisar entender um pouco de energia cinética e como a roldana real afeta o movimento das massas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as energias envolvidas no sistema. Temos duas massas, e , cada uma movendo-se verticalmente. A energia cinética das massas é dada por:
Aqui, é a velocidade das massas.

Passo 3

Agora, a roldana também tem energia cinética devido à sua rotação. A energia cinética da roldana é:
Como a corda não escorrega, a relação entre a velocidade linear das massas e a velocidade angular da roldana é:
Substituindo isso na energia cinética da roldana:

Passo 4

A energia potencial das massas é:
Agora, a Lagrangiana é a diferença entre a energia cinética total e a energia potencial:

Passo 5

Simplificando a Lagrangiana:

Passo 6

Aplicamos a equação de Lagrange:
Calculando as derivadas:

Passo 7

Substituindo na equação de Lagrange:
Resolvendo para :

Resposta

A aceleração do sistema é:

Exercícios relacionados

Considere uma massa m se movendo em um plano inclinado sem atrito e com uma inclinação . Escreva o Lagrangeano e ache a aceleração ao longo da inclinação. Resp.:
Três massas são colocadas nas posições e . Calcule o tensor de inércia em relação aos eixos ( .
Uma carga negativa está distribuída uniformemente sobre uma casca esférica isolante fina, de raio . Calcule a força (módulo, direção e sentido) que essa casca esférica exerce sobre uma carga puntiforme positiva , localizada
(a) a uma distância do centro da esfera (no exterior da casca);
(b) a uma distância do centro da esfera (dentro da casca).
Uma esfera metálica com raio a está apoiada sobre uma base isolada no centro de uma casca esférica metálica com raio externo . Existe uma carga na esfera interna e uma carga na esfera externa.
(a) Determine o potencial para as regiões (i) ; (ii) ; (iii) . (Dica: o potencial total é dado pela soma dos potenciais de cada esfera.) Considere igual a zero para infinito.
(b) Mostre que o potencial da esfera interna em relação à esfera externa é dado por
© Use a Equação 23.23 e o resultado do item (a) para mostrar que o campo elétrico em qualquer ponto entre as esferas possui módulo dado por
(d) Aplique a Equação 23.23 e o resultado do item (a) para calcular o campo elétrico em um ponto fora da esfera maior a uma distância do centro, sendo . (e) Suponha que a carga na esfera externa não seja , mas uma carga negativa de módulo diferente, digamos, . Mostre que as respostas dos itens (b) e © não se alteram, porém a resposta do item (d) torna-se diferente.