Use as equações de Lagrange para resolver a Máquina de Atwood incluindo uma roldana real de raio R com momento de inércia
. Lembre que a energia cinética da polia é
. Resp.:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente usar as equações de Lagrange pra resolver a Máquina de Atwood, que é aquele sistema com duas massas penduradas em uma roldana. Mas, dessa vez, a roldana não é perfeita – ela tem um raio
e um momento de inércia
. Para resolver, vamos precisar entender um pouco de energia cinética e como a roldana real afeta o movimento das massas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as energias envolvidas no sistema. Temos duas massas,
e
, cada uma movendo-se verticalmente. A energia cinética das massas é dada por:
Aqui,
é a velocidade das massas.
Passo 3
Agora, a roldana também tem energia cinética devido à sua rotação. A energia cinética da roldana é:
Como a corda não escorrega, a relação entre a velocidade linear das massas e a velocidade angular da roldana é:
Substituindo isso na energia cinética da roldana:
Passo 4
A energia potencial das massas é:
Agora, a Lagrangiana
é a diferença entre a energia cinética total e a energia potencial:
Passo 5
Simplificando a Lagrangiana:
Passo 6
Aplicamos a equação de Lagrange:
Calculando as derivadas:
Passo 7
Substituindo na equação de Lagrange:
Resolvendo para
:
Resposta
A aceleração do sistema é: