Use as equações de Lagrange para resolver a Máquina de Atwood incluindo uma roldana real de raio R com momento de inércia I. Lembre que a energia cinética da polia é T=1 / 2 mid omega^2. Resp.: ddotx=(m1-m2) g /(m1+m2+l / R^2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente usar as equações de Lagrange pra resolver a Máquina de Atwood, que é aquele sistema com duas massas penduradas em uma roldana. Mas, dessa vez, a roldana não é perfeita – ela tem um raio e um momento de inércia . Para resolver, vamos precisar entender um pouco de energia cinética e como a roldana real afeta o movimento das massas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as energias envolvidas no sistema. Temos duas massas, Tmassas = 12 m1 dotx^2 + 12 m2 dotx^2 e , cada uma movendo-se verticalmente. A energia cinética das massas é dada por:
Aqui, é a velocidade das massas.

Passo 3

Agora, a roldana também tem energia cinética devido à sua rotação. A energia cinética da roldana é:
Troldana = 12 I omega^2
Como a corda não escorrega, a relação entre a velocidade linear das massas e a velocidade angular da roldana é:
omega = dotxR
Substituindo isso na energia cinética da roldana:
Troldana = 12 I (dotxR)^2 = 12 IR^2 dotx^2

Passo 4

A energia potencial das massas é:
V = m1 g x + m2 g x
Agora, a Lagrangiana L = Ttotal - V = (12 m1 dotx^2 + 12 m2 dotx^2 + 12 IR^2 dotx^2) - (m1 g x + m2 g x) é a diferença entre a energia cinética total e a energia potencial:

Passo 5

Simplificando a Lagrangiana:
L = 12 (m1 + m2 + IR^2) dotx^2 - (m1 + m2) g x

Passo 6

Aplicamos a equação de Lagrange:
ddt (partial Lpartial dotx) - partial Lpartial x = 0
Calculando as derivadas:
partial Lpartial dotx = (m1 + m2 + IR^2) dotx
ddt (partial Lpartial dotx) = (m1 + m2 + IR^2) ddotx
partial Lpartial x = (m1 + m2) g

Passo 7

Substituindo na equação de Lagrange:
(m1 + m2 + IR^2) ddotx - (m1 + m2) g = 0
Resolvendo para ddotx = (m1 + m2) gm1 + m2 + IR^2 :

Resposta

A aceleração do sistema é:
ddotx = (m1 - m2) , gm1 + m2 + IR^2

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