Uma carga q negativa está situada na posição (a, 0,0) e outra carga de mesmo valor, porém negativa, está na posição (a, a, a).
a) Encontre uma expressão para o vetor campo elétrico gerado por essas cargas na origem.
b) se q=5,00 n C, qual o vetor força resultante que atua sobre uma carga de teste q0=2,00 n C colocada na origem? Considere a=1,0 m.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre duas cargas negativas localizadas em posições específicas no espaço. Precisamos encontrar o vetor campo elétrico na origem gerado por essas cargas e, depois, calcular a força resultante sobre uma carga de teste colocada na origem. Para resolver isso, vamos usar conceitos de campo elétrico gerado por cargas pontuais e a Lei de Coulomb para calcular a força.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico E = k cdot q|r|^3 cdot r gerado por uma carga pontual em uma posição é dado por:
onde:
  • é a constante eletrostática ( ²²),
  • é o vetor posição da carga em relação ao ponto onde estamos calculando o campo.

Passo 3

Vamos identificar as posições das duas cargas negativas:
  1. Primeira carga em
  2. Segunda carga em
Queremos encontrar o campo elétrico na origem . Para isso, precisamos calcular o vetor posição de cada carga em relação à origem.

Passo 4

Calculando os vetores posição r1 = lang<= a, 0, 0 rang<= e r2 = lang<= a, a, a rang<= :
|r1| = raiza^2 + 0^2 + 0^2 = a
|r2| = raiza^2 + a^2 + a^2 = araiz3
A distância de cada carga até a origem é o módulo desses vetores:

Passo 5

Agora, aplicando a fórmula do campo elétrico para cada carga:
Para a primeira carga:
E1 = k cdot qa^3 cdot r1 = k cdot qa^3 cdot lang<= a, 0, 0 rang<= = k cdot qa^2 cdot lang<= 1, 0, 0 rang<=
Para a segunda carga:
E2 = k cdot q(araiz3)^3 cdot r2 = k cdot q3raiz3a^3 cdot lang<= a, a, a rang<= = k cdot q3raiz3a^2 cdot lang<= 1, 1, 1 rang<=

Passo 6

Como ambas as cargas são negativas, o campo elétrico gerado por elas na origem será no sentido oposto ao vetor posição. Portanto, precisamos inverter a direção dos vetores E1 = -k cdot qa^2 cdot lang<= 1, 0, 0 rang<= e E2 = -k cdot q3raiz3a^2 cdot lang<= 1, 1, 1 rang<= :

Passo 7

O campo elétrico total Etotal = E1 + E2 na origem é a soma dos campos elétricos individuais:
Etotal = -k cdot qa^2 cdot lang<= 1, 0, 0 rang<= - k cdot q3raiz3a^2 cdot lang<= 1, 1, 1 rang<=
Substituindo os valores:

Passo 8

Vamos fatorar Etotal = -k cdot qa^2 ( lang<= 1, 0, 0 rang<= + 13raiz3 lang<= 1, 1, 1 rang<= ) para simplificar:

Passo 9

Somando os vetores dentro dos parênteses:
lang<= 1, 0, 0 rang<= + 13raiz3 lang<= 1, 1, 1 rang<= = (1 + 13raiz3, 13raiz3, 13raiz3 )

Passo 10

Portanto, a expressão final para o vetor campo elétrico na origem é:
Etotal = -k cdot qa^2 (1 + 13raiz3, 13raiz3, 13raiz3 )

Passo 11

Agora, vamos calcular a força resultante sobre a carga de teste F = q0 cdot E na origem, usando o campo elétrico que acabamos de encontrar. Lembrando que a força elétrica é dada por:

Passo 12

Primeiro, vamos substituir os valores fornecidos:
  • ²²

Passo 13

Substituindo na expressão do campo elétrico:
Etotal = -8,99 times 10^9 cdot 5,00 times 10^-9(1,0)^2 (1 + 13raiz3, 13raiz3, 13raiz3 )
Simplificando os cálculos:
Etotal = -8,99 times 10^9 cdot 5,00 times 10^-91 (1 + 13raiz3, 13raiz3, 13raiz3 )
Etotal = -44,95 (1 + 13raiz3, 13raiz3, 13raiz3 ) , N/C

Passo 14

Calculando os valores numéricos dentro do parênteses:
13raiz3 approx 0,192
Portanto:
Etotal approx -44,95 (1 + 0,192, 0,192, 0,192 )
Etotal approx -44,95 (1,192, 0,192, 0,192 ) , N/C

Passo 15

Finalmente, multiplicando cada componente:
Etotal approx -44,95 times 1,192 , i - 44,95 times 0,192 , j - 44,95 times 0,192 , k
Etotal approx -53,5 , i - 8,63 , j - 8,63 , k , N/C

Passo 16

Agora, calculamos a força F = 2,00 times 10^-9 cdot (-53,5 , i - 8,63 , j - 8,63 , k) usando F = (-1,07 times 10^-7) , i + (-1,73 times 10^-8) , j + (-1,73 times 10^-8) , k , N :

Resposta

A força resultante que atua sobre a carga de teste na origem é aproximadamente:
F approx -1,07 times 10^-7 , i - 1,73 times 10^-8 , j - 1,73 times 10^-8 , k , N

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