Uma carga q negativa está situada na posição e outra carga de mesmo valor, porém negativa, está na posição .
a) Encontre uma expressão para o vetor campo elétrico gerado por essas cargas na origem.
b) se , qual o vetor força resultante que atua sobre uma carga de teste colocada na origem? Considere m.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre duas cargas negativas localizadas em posições específicas no espaço. Precisamos encontrar o vetor campo elétrico na origem gerado por essas cargas e, depois, calcular a força resultante sobre uma carga de teste colocada na origem. Para resolver isso, vamos usar conceitos de campo elétrico gerado por cargas pontuais e a Lei de Coulomb para calcular a força.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico gerado por uma carga pontual em uma posição é dado por:
onde:
  • é a constante eletrostática ( ²²),
  • é o vetor posição da carga em relação ao ponto onde estamos calculando o campo.

Passo 3

Vamos identificar as posições das duas cargas negativas:
  1. Primeira carga em
  2. Segunda carga em
Queremos encontrar o campo elétrico na origem . Para isso, precisamos calcular o vetor posição de cada carga em relação à origem.

Passo 4

Calculando os vetores posição e :
A distância de cada carga até a origem é o módulo desses vetores:

Passo 5

Agora, aplicando a fórmula do campo elétrico para cada carga:
Para a primeira carga:
Para a segunda carga:

Passo 6

Como ambas as cargas são negativas, o campo elétrico gerado por elas na origem será no sentido oposto ao vetor posição. Portanto, precisamos inverter a direção dos vetores e :

Passo 7

O campo elétrico total na origem é a soma dos campos elétricos individuais:
Substituindo os valores:

Passo 8

Vamos fatorar para simplificar:

Passo 9

Somando os vetores dentro dos parênteses:

Passo 10

Portanto, a expressão final para o vetor campo elétrico na origem é:

Passo 11

Agora, vamos calcular a força resultante sobre a carga de teste na origem, usando o campo elétrico que acabamos de encontrar. Lembrando que a força elétrica é dada por:

Passo 12

Primeiro, vamos substituir os valores fornecidos:
  • ²²

Passo 13

Substituindo na expressão do campo elétrico:
Simplificando os cálculos:

Passo 14

Calculando os valores numéricos dentro do parênteses:
Portanto:

Passo 15

Finalmente, multiplicando cada componente:

Passo 16

Agora, calculamos a força usando :

Resposta

A força resultante que atua sobre a carga de teste na origem é aproximadamente:

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