Uma carga pontual de
está centrada em uma casca esférica metálica de raio
. Sobre a casca esférica são depositados
de carga. Determine o campo elétrico a uma distância de (a) 5,0 cm e (b)
da carga pontual.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma carga pontual de
no centro de uma casca esférica metálica de raio
. Além disso, há
distribuídos na casca. Nosso objetivo é encontrar o campo elétrico a duas distâncias específicas da carga central: (a)
e (b)
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a Lei de Gauss e a distribuição de cargas em condutores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como as cargas se distribuem na casca esférica metálica. Como há uma carga central de
, essa carga vai induzir uma carga de
na superfície interna da casca para neutralizar o campo dentro do condutor. Isso significa que a carga restante de
vai se distribuir na superfície externa da casca.
Passo 3
Agora, vamos calcular o campo elétrico a
do centro. Essa distância está dentro da casca metálica (já que o raio é
). Nessa região, o campo elétrico é gerado apenas pela carga central, já que a carga na parte interna da casca cancela qualquer contribuição da casca própria. Usamos a Lei de Gauss para uma esfera concentradora com raio
.
A lei de Gauss nos diz que:
Onde
é a carga dentro da superfície gaussiana, que aqui é
.
Passo 4
Calculando o campo elétrico a
:
Primeiro, convertamos as unidades para metros:
A área da superfície gaussiana é:
Aplicando a Lei de Gauss:
Passo 5
Agora, vamos calcular o campo elétrico a
do centro, que está na superfície externa da casca metálica. Aqui, a carga que contribui para o campo elétrico é a carga total fora desse ponto, ou seja, a soma da carga central mais a carga na superfície externa da casca.
A carga total que influencia neste ponto é:
Usando novamente a Lei de Gauss para uma esfera com raio
:
A área da superfície gaussiana é:
Aplicando a Lei de Gauss:
Resposta
(a) O campo elétrico a
é aproximadamente
.
(b) O campo elétrico a é aproximadamente
.
(b) O campo elétrico a
Exercícios relacionados
Determine se as seguintes funções de onda são aceitáveis no intervalo dado. Se não forem, explique o porquê.
(g)
(g)
Uma esfera não-condutora com
de raio possui uma densidade volumétrica uniforme de cargas de
. Determine o módulo do campo elétrico a
do centro da esfera.
Normalize as funções de onda abaixo:
Versão não métrica: (a) Quanto tempo um aquecedor de água de 2,0
Btu/h leva para elevar a temperatura de 40 galões de água de
para
? Versão métrica: (b) Quanto tempo um aquecedor de água de 59 kW leva para elevar a temperatura de 150 litros de água de
para
?