Uma carga pontual de +2,0 mu C está centrada em uma casca esférica metálica de raio 10,0 cm. Sobre a casca esférica são depositados +1,0 mu C de carga. Determine o campo elétrico a uma distância de (a) 5,0 cm e (b) 10,0 cm da carga pontual.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma carga pontual de +2,0,muC no centro de uma casca esférica metálica de raio 10,0,cm. Além disso, há +1,0,muC distribuídos na casca. Nosso objetivo é encontrar o campo elétrico a duas distâncias específicas da carga central: (a) 5,0,cm e (b) 10,0,cm. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a Lei de Gauss e a distribuição de cargas em condutores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como as cargas se distribuem na casca esférica metálica. Como há uma carga central de +2,0,muC, essa carga vai induzir uma carga de -2,0,muC na superfície interna da casca para neutralizar o campo dentro do condutor. Isso significa que a carga restante de +1,0,muC vai se distribuir na superfície externa da casca.

Passo 3

Agora, vamos calcular o campo elétrico a 5,0,cm do centro. Essa distância está dentro da casca metálica (já que o raio é 10,0,cm). Nessa região, o campo elétrico é gerado apenas pela carga central, já que a carga na parte interna da casca cancela qualquer contribuição da casca própria. Usamos a Lei de Gauss para uma esfera concentradora com raio 5,0,cm.
A lei de Gauss nos diz que:
oint E cdot dA = Qinternovarepsilon0
Onde Qinterno é a carga dentro da superfície gaussiana, que aqui é +2,0,muC.

Passo 4

Calculando o campo elétrico a 5,0,cm:
Primeiro, convertamos as unidades para metros:
r = 5,0,cm = 0,05,m
A área da superfície gaussiana é:
A = 4pi r^2 = 4pi (0,05)^2 = 0,0314,m^2
Aplicando a Lei de Gauss:
E cdot 0,0314 = 2,0 times 10^-68,85 times 10^-12
E = 2,0 times 10^-68,85 times 10^-12 times 0,0314 approx 7,30 times 10^6,N/C

Passo 5

Agora, vamos calcular o campo elétrico a 10,0,cm do centro, que está na superfície externa da casca metálica. Aqui, a carga que contribui para o campo elétrico é a carga total fora desse ponto, ou seja, a soma da carga central mais a carga na superfície externa da casca.
A carga total que influencia neste ponto é:
Qtotal = 2,0,muC + 1,0,muC = 3,0,muC
Usando novamente a Lei de Gauss para uma esfera com raio 10,0,cm:
r = 10,0,cm = 0,10,m
A área da superfície gaussiana é:
A = 4pi r^2 = 4pi (0,10)^2 = 0,1256,m^2
Aplicando a Lei de Gauss:
E cdot 0,1256 = 3,0 times 10^-68,85 times 10^-12
E = 3,0 times 10^-68,85 times 10^-12 times 0,1256 approx 2,70 times 10^6,N/C

Resposta

(a) O campo elétrico a 5,0,cm é aproximadamente 7,30 times 10^6,N/C.
(b) O campo elétrico a 10,0,cm é aproximadamente 2,70 times 10^6,N/C.

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