Uma carga pontual -Q1 de massa m descreve uma trajetória orbital circular de raio R em torno de uma carga de sinal oposto Q2.
(a) Qual é a velocidade angular da carga -Q1 ?,
(b) Este problema descreve o modelo do átomo de Bohr de um elétron; onde a carga -Q1 é a de um elétron e Q2=Z e é a carga nuclear ( Z é o número de prótons). De acordo com os postulados da mecânica quântica, o momento angular L do elétron deve ser quantizado,
L=m v R=n h2 pi, n=1,2,3, ldots
onde h=6,63 times 10^-34 J cdot s é a constante de Planck. Quais são os valores permitidos de R ?,
© Para o átomo de hidrogênio (Z=1). Qual é o raio da menor órbita permitida e qual é a velocidade orbital do elétron?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre física envolvendo cargas elétricas e movimentos circulares, que se relaciona com o modelo atômico de Bohr. Para resolver, vamos precisar entender forças eletrostáticas, movimentos circulares e a quantização do momento angular segundo a mecânica quântica.

Passo 2

Começando pela parte (a), queremos encontrar a velocidade angular da carga que está girando em uma trajetória circular de raio ao redor da carga .

Passo 3

Primeiro, vamos lembrar que a força eletrostática entre duas cargas é dada pela Lei de Coulomb:
F = ke Q1 Q2R^2
onde é a constante eletrostática.

Passo 4

Como a carga Fc = m omega^2 R está em movimento circular, essa força eletrostática fornece a força centrípeta necessária para manter o movimento. A força centrípeta é dada por:
onde é a massa da carga e é a velocidade angular que queremos encontrar.

Passo 5

Igualando as duas forças:
ke Q1 Q2R^2 = m omega^2 R

Passo 6

Agora, vamos isolar omega^2 = ke Q1 Q2m R^3 :
omega = raizke Q1 Q2m R^3

Resposta

A velocidade angular da carga omega = raizke Q1 Q2m R^3 é:

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