Nos pontos definidos pelos vetores posição r1 e r2, encontram-se duas cargas positivas q1 e q2, respectivamente. Encontre a carga negativa q3 e o vetor posição r3 do ponto em que ela deve ser colocada, de modo que a força que atua sobre cada uma dessas cargas seja igual a zero.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem duas cargas positivas, e , posicionadas nos pontos definidos pelos vetores posição e . A tarefa é encontrar uma carga negativa e seu vetor posição de forma que, em cada uma dessas três cargas, a força resultante seja zero. Isso envolve conceitos de Eletrostática, principalmente a Lei de Coulomb e o equilíbrio de forças.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei de Coulomb, que nos diz que a força entre duas cargas pontuais é dada por:
F = k cdot q1 q2r^2
onde:
  • é a força entre as cargas,
  • é a constante de Coulomb,
  • e são as magnitudes das cargas,
  • é a distância entre elas.
Como queremos que a força resultante em cada carga seja zero, precisamos que a soma das forças atuando em cada carga seja igual a zero.

Passo 3

Vamos considerar que a carga negativa F12 + F13 = 0 está posicionada em algum ponto F21 + F23 = 0 . As forças que atuam sobre cada carga serão:
  • Sobre F31 + F32 = 0 : a força devido a e a força devido a .
  • Sobre : a força devido a e a força devido a .
  • Sobre : a força devido a e a força devido a .
Como queremos que a força resultante seja zero em cada carga, temos as seguintes equações de equilíbrio:
Para :
Para :
Para :

Passo 4

Vamos analisar a posição da carga r3 = lambda r1 + (1 - lambda) r2 . Para simplificar, vamos assumir que está situada na linha que une e . Assim, podemos expressar como uma combinação linear de e :
onde é um parâmetro que determina a posição de ao longo da linha.

Passo 5

Agora, vamos expressar as forças usando a Lei de Coulomb:
F12 = k cdot q1 q2|r2 - r1|^2
F13 = k cdot q1 q3|r3 - r1|^2
Para que a força resultante sobre F12 + F13 = 0 implies k cdot q1 q2|r2 - r1|^2 + k cdot q1 q3|r3 - r1|^2 = 0 seja zero:
q2|r2 - r1|^2 + q3|r3 - r1|^2 = 0
Simplificando:
q1|r1 - r2|^2 + q3|r3 - r2|^2 = 0
Similarmente, podemos fazer a mesma coisa para :

Passo 6

Como |r3 - r1| = lambda d está na linha entre |r3 - r2| = (1 - lambda) d e q2d^2 + q3(lambda d)^2 = 0 implies q2d^2 = -q3lambda^2 d^2 implies q3 = -lambda^2 q2 , podemos considerar as distâncias q1d^2 + q3((1 - lambda) d)^2 = 0 implies q1d^2 = -q3(1 - lambda)^2 d^2 implies q3 = -(1 - lambda)^21 q1 e em termos de .
Vamos chamar .
Então:
Substituindo na equação de equilíbrio para :
Fazendo o mesmo para :

Passo 7

Agora temos duas expressões para q3 = -lambda^2 q2 :
q3 = -(1 - lambda)^2 q1
-lambda^2 q2 = -(1 - lambda)^2 q1 implies lambda^2 q2 = (1 - lambda)^2 q1
Igualando as duas:
lambda^2 q2 = q1 (1 - 2lambda + lambda^2)
Vamos resolver para lambda^2 q2 = q1 - 2 q1 lambda + q1 lambda^2 :
lambda^2 q2 - q1 lambda^2 + 2 q1 lambda - q1 = 0
lambda^2 (q2 - q1) + 2 q1 lambda - q1 = 0
Levantando todos os termos para um lado:
Fatorando :

Passo 8

Essa é uma equação quadrática em (q2 - q1) lambda^2 + 2 q1 lambda - q1 = 0 :
lambda = -b pm raizb^2 - 4ac 2a
Usando a fórmula de Bhaskara:
lambda = -2 q1 pm raiz(2 q1)^2 - 4 (q2 - q1)(-q1) 2 (q2 - q1)
onde:
  • raiz4 q1^2 + 4 q1 (q2 - q1) = raiz4 q1^2 + 4 q1 q2 - 4 q1^2 = raiz4 q1 q2 = 2 raizq1 q2
  • lambda = -2 q1 pm 2 raizq1 q2 2 (q2 - q1) = -q1 pm raizq1 q2 q2 - q1
Substituindo:
Simplificando dentro da raiz:
Então:

Passo 9

Agora, temos duas soluções para lambda = -q1 + raizq1 q2 q2 - q1 . Vamos considerar a solução que faz sentido fisicamente, ou seja, que coloca lambda = raizq1 q2 - q1 q2 - q1 = raizq1 q2 q2 - q1 - q1 q2 - q1 entre e . Supondo e diferentes, escolhemos:
Simplificando:
Para manter positivo e real, essa seria a escolha adequada dependendo dos valores de e .

Passo 10

Finalmente, substituímos q3 = -lambda^2 q2 na expressão de r3 = lambda r1 + (1 - lambda) r2 :
E também encontramos usando:

Resposta

A carga negativa q3 = -lambda^2 q2 é dada por:
lambda = raizq1 q2 - q1 q2 - q1
onde:
r3 = lambda r1 + (1 - lambda) r2
E o vetor posição do ponto onde deve ser colocada é:
Isso garante que a força resultante em cada uma das três cargas seja zero, atingindo o equilíbrio eletrostático desejado.

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