Nos pontos definidos pelos vetores posição
e
, encontram-se duas cargas positivas
e
, respectivamente. Encontre a carga negativa
e o vetor posição
do ponto em que ela deve ser colocada, de modo que a força que atua sobre cada uma dessas cargas seja igual a zero.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem duas cargas positivas,
e
, posicionadas nos pontos definidos pelos vetores posição
e
. A tarefa é encontrar uma carga negativa
e seu vetor posição
de forma que, em cada uma dessas três cargas, a força resultante seja zero. Isso envolve conceitos de Eletrostática, principalmente a Lei de Coulomb e o equilíbrio de forças.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Lei de Coulomb, que nos diz que a força entre duas cargas pontuais é dada por:
onde:
-
é a força entre as cargas, -
é a constante de Coulomb, -
e são as magnitudes das cargas, -
é a distância entre elas.
Como queremos que a força resultante em cada carga seja zero, precisamos que a soma das forças atuando em cada carga seja igual a zero.
Passo 3
Vamos considerar que a carga negativa
está posicionada em algum ponto
. As forças que atuam sobre cada carga serão:
- Sobre
: a força devido a e a força devido a . - Sobre
: a força devido a e a força devido a . - Sobre
: a força devido a e a força devido a .
Como queremos que a força resultante seja zero em cada carga, temos as seguintes equações de equilíbrio:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 4
Vamos analisar a posição da carga
. Para simplificar, vamos assumir que
está situada na linha que une
e
. Assim, podemos expressar
como uma combinação linear de
e
:
onde
é um parâmetro que determina a posição de
ao longo da linha.
Passo 5
Agora, vamos expressar as forças usando a Lei de Coulomb:
Para que a força resultante sobre
seja zero:
Simplificando:
Similarmente, podemos fazer a mesma coisa para
:
Passo 6
Como
está na linha entre
e
, podemos considerar as distâncias
e
em termos de
.
Vamos chamar
.
Então:
Substituindo na equação de equilíbrio para
:
Fazendo o mesmo para
:
Passo 7
Agora temos duas expressões para
:
Igualando as duas:
Vamos resolver para
:
Levantando todos os termos para um lado:
Fatorando
:
Passo 8
Essa é uma equação quadrática em
:
Usando a fórmula de Bhaskara:
onde:
Substituindo:
Simplificando dentro da raiz:
Então:
Passo 9
Agora, temos duas soluções para
. Vamos considerar a solução que faz sentido fisicamente, ou seja, que coloca
entre
e
. Supondo
e
diferentes, escolhemos:
Simplificando:
Para manter
positivo e real, essa seria a escolha adequada dependendo dos valores de
e
.
Passo 10
Finalmente, substituímos
na expressão de
:
E também encontramos
usando:
Resposta
A carga negativa
é dada por:
onde:
E o vetor posição
do ponto onde
deve ser colocada é:
Isso garante que a força resultante em cada uma das três cargas seja zero, atingindo o equilíbrio eletrostático desejado.