Nos pontos definidos pelos vetores posição e , encontram-se duas cargas positivas e , respectivamente. Encontre a carga negativa e o vetor posição do ponto em que ela deve ser colocada, de modo que a força que atua sobre cada uma dessas cargas seja igual a zero.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem duas cargas positivas, e , posicionadas nos pontos definidos pelos vetores posição e . A tarefa é encontrar uma carga negativa e seu vetor posição de forma que, em cada uma dessas três cargas, a força resultante seja zero. Isso envolve conceitos de Eletrostática, principalmente a Lei de Coulomb e o equilíbrio de forças.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei de Coulomb, que nos diz que a força entre duas cargas pontuais é dada por:
onde:
  • é a força entre as cargas,
  • é a constante de Coulomb,
  • e são as magnitudes das cargas,
  • é a distância entre elas.
Como queremos que a força resultante em cada carga seja zero, precisamos que a soma das forças atuando em cada carga seja igual a zero.

Passo 3

Vamos considerar que a carga negativa está posicionada em algum ponto . As forças que atuam sobre cada carga serão:
  • Sobre : a força devido a e a força devido a .
  • Sobre : a força devido a e a força devido a .
  • Sobre : a força devido a e a força devido a .
Como queremos que a força resultante seja zero em cada carga, temos as seguintes equações de equilíbrio:
Para :
Para :
Para :

Passo 4

Vamos analisar a posição da carga . Para simplificar, vamos assumir que está situada na linha que une e . Assim, podemos expressar como uma combinação linear de e :
onde é um parâmetro que determina a posição de ao longo da linha.

Passo 5

Agora, vamos expressar as forças usando a Lei de Coulomb:
Para que a força resultante sobre seja zero:
Simplificando:
Similarmente, podemos fazer a mesma coisa para :

Passo 6

Como está na linha entre e , podemos considerar as distâncias e em termos de .
Vamos chamar .
Então:
Substituindo na equação de equilíbrio para :
Fazendo o mesmo para :

Passo 7

Agora temos duas expressões para :
Igualando as duas:
Vamos resolver para :
Levantando todos os termos para um lado:
Fatorando :

Passo 8

Essa é uma equação quadrática em :
Usando a fórmula de Bhaskara:
onde:
Substituindo:
Simplificando dentro da raiz:
Então:

Passo 9

Agora, temos duas soluções para . Vamos considerar a solução que faz sentido fisicamente, ou seja, que coloca entre e . Supondo e diferentes, escolhemos:
Simplificando:
Para manter positivo e real, essa seria a escolha adequada dependendo dos valores de e .

Passo 10

Finalmente, substituímos na expressão de :
E também encontramos usando:

Resposta

A carga negativa é dada por:
onde:
E o vetor posição do ponto onde deve ser colocada é:
Isso garante que a força resultante em cada uma das três cargas seja zero, atingindo o equilíbrio eletrostático desejado.

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\footnotetext{
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