Um fio de cobre conduz uma corrente de 10 A uniformemente distribuída em sua seção reta. Calcule a densidade de energia (a) do campo magnético e (b) do campo elétrico na superfície do fio. O diâmetro do fio é 2,5 mm e a resistência é 3,3 Omega / km.
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Resposta: (a) 1,0 J / m^3 (b) 4,8 times 10^-15 J / m^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um fio de cobre que está conduzindo uma corrente elétrica de 10 A de forma uniforme pela sua seção reta. O diâmetro desse fio é de 2,5 mm e a resistência é de 3,3 Ω por quilômetro. Nosso objetivo aqui é calcular duas coisas:
(a) A densidade de energia do campo magnético na superfície do fio.
(b) A densidade de energia do campo elétrico na mesma superfície.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletromagnetismo, especificamente sobre campos magnéticos e elétricos, e como eles armazenam energia. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a densidade de energia do campo magnético. A densidade de energia do campo magnético ( uB) é dada por:
uB = B^22mu0
Onde:
  • B é a intensidade do campo magnético.
  • mu0 é a permeabilidade do vácuo, que vale aproximadamente 4pi times 10^-7 , T cdot m/A.
Para encontrar B, usamos a lei de Ampère para um fio com corrente distribuída uniformemente. A intensidade do campo magnético na superfície de um fio cilíndrico com raio r é dada por:
B = mu0 I2pi r
Primeiro, vamos calcular o raio do fio. Como o diâmetro é 2,5 mm:
r = 2,5 , mm2 = 1,25 , mm = 1,25 times 10^-3 , m
Agora, substituindo os valores na fórmula de B:
B = 4pi times 10^-7 times 102pi times 1,25 times 10^-3 = 4 times 10^-6 times 102,5 times 10^-3 = 4 times 10^-52,5 times 10^-3 = 1,6 times 10^-2 , T
Agora que temos B, calculamos uB:
uB = (1,6 times 10^-2)^22 times 4pi times 10^-7 = 2,56 times 10^-48pi times 10^-7 approx 2,56 times 10^-42,51 times 10^-6 approx 101,8 , J/m^3
Arredondando, temos:
uB approx 1,0 , J/m^3

Passo 3

Agora, vamos calcular a densidade de energia do campo elétrico ( uE) na superfície do fio. A densidade de energia do campo elétrico é dada por:
uE = varepsilon0 E^22
Onde:
  • E é a intensidade do campo elétrico.
  • varepsilon0 é a permissividade do vácuo, que vale aproximadamente 8,85 times 10^-12 , F/m.
Primeiro, precisamos encontrar o campo elétrico E. Sabemos que a resistência ( R) do fio é dada por:
R = rho LA
Onde:
  • rho é a resistividade do material (para cobre, rho approx 1,68 times 10^-8 , Omega cdot m).
  • L é o comprimento do fio.
  • A é a área da seção transversal.
Mas como a resistência é dada por 3,3 Ω/km, podemos relacionar a tensão ( V) com a corrente ( I) usando a Lei de Ohm:
V = I R
Considerando 1 km de fio:
V = 10 times 3,3 = 33 , V
Agora, o campo elétrico E é dado por:
E = VL
Para 1 km (1000 m):
E = 331000 = 0,033 , V/m
Agora, calculando uE:
uE = 8,85 times 10^-12 times (0,033)^22 = 8,85 times 10^-12 times 1,089 times 10^-32 approx 9,65 times 10^-152 approx 4,825 times 10^-15 , J/m^3
Arredondando, temos:
uE approx 4,8 times 10^-15 , J/m^3

Resposta

(a) A densidade de energia do campo magnético na superfície do fio é aproximadamente 1,0 , J/m^3.
(b) A densidade de energia do campo elétrico na superfície do fio é aproximadamente 4,8 times 10^-15 , J/m^3.

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