Uma carga positiva Q é distribuída uniformemente ao longo do volume de uma esfera isolante de raio R. Determine o módulo do campo elétrico em um ponto P a uma distância r do centro da esfera (a) quando r, (b) quando r=R e © quando r>R

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede e identificar o conteúdo necessário para resolvê-lo.
Enunciado:
Temos uma carga positiva distribuída uniformemente no volume de uma esfera isolante de raio . Precisamos encontrar o módulo do campo elétrico em um ponto que está a uma distância do centro da esfera em três situações:
  • (a) (dentro da esfera),
  • (b) (na superfície da esfera),
  • © (fora da esfera).
Conteúdo necessário:
Para resolver esse problema, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma das leis fundamentais do eletromagnetismo. A Lei de Gauss nos ajuda a calcular campos elétricos com alta simetria, como o de uma esfera carregada uniformemente.

Passo 2

Entendendo a Lei de Gauss:
A Lei de Gauss afirma que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada (chamada de superfície gaussiana) é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo ( PhiE = ointS E cdot dA = Qencepsilon0 ). Matematicamente, é expressa como:
Onde:
  • é o fluxo elétrico,
  • é o campo elétrico,
  • é um elemento de área da superfície,
  • é a carga total dentro da superfície.

Passo 3

Escolhendo a superfície gaussiana:
Devido à simetria esférica do problema, vamos escolher uma superfície gaussiana que também seja uma esfera de raio centrada no mesmo ponto que a esfera carregada. Isso simplifica os cálculos porque o campo elétrico terá a mesma magnitude em todos os pontos da superfície gaussiana e será perpendicular a ela.

Passo 4

Calculando o fluxo elétrico ( PhiE = E cdot 4pi r^2 ):
Como o campo elétrico é constante em magnitude e perpendicular à superfície gaussiana:
Onde é a área da esfera gaussiana.

Passo 5

Determinação da carga encerrada ( Qenc = Q ( r^3R^3 ) ):
Dependendo da posição de em relação a , teremos diferentes cargas encerradas.
  • Para : A carga está distribuída uniformemente, então a carga encerrada é proporcional ao volume dentro de raio :
  • Para : Toda a carga está dentro da superfície gaussiana.

Passo 6

Aplicando a Lei de Gauss para cada caso:
  • Caso (a) E cdot 4pi r^2 = Q ( r^3R^3 )epsilon0 :
    E = Q r4pi epsilon0 R^3
    Resolvendo para E cdot 4pi R^2 = Qepsilon0 :
    E = Q4pi epsilon0 R^2
  • Caso (b) E cdot 4pi r^2 = Qepsilon0 :
    E = Q4pi epsilon0 r^2
    Resolvendo para :
  • Caso © :
    Resolvendo para :

Resposta

O módulo do campo elétrico E = Q cdot r4pi epsilon0 R^3 no ponto E = Q4pi epsilon0 R^2 é:
  • (a) Para E = Q4pi epsilon0 r^2 :
  • (b) Para :
  • © Para :

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