Uma carga positiva
é distribuída uniformemente ao longo do volume de uma esfera isolante de raio
. Determine o módulo do campo elétrico em um ponto
a uma distância
do centro da esfera (a) quando
, (b) quando
e © quando
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício pede e identificar o conteúdo necessário para resolvê-lo.
Enunciado:
Temos uma carga positiva distribuída uniformemente no volume de uma esfera isolante de raio
. Precisamos encontrar o módulo do campo elétrico em um ponto
que está a uma distância
do centro da esfera em três situações:
Temos uma carga positiva
- (a)
(dentro da esfera), - (b)
(na superfície da esfera), - ©
(fora da esfera).
Conteúdo necessário:
Para resolver esse problema, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma das leis fundamentais do eletromagnetismo. A Lei de Gauss nos ajuda a calcular campos elétricos com alta simetria, como o de uma esfera carregada uniformemente.
Para resolver esse problema, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma das leis fundamentais do eletromagnetismo. A Lei de Gauss nos ajuda a calcular campos elétricos com alta simetria, como o de uma esfera carregada uniformemente.
Passo 2
Entendendo a Lei de Gauss:
A Lei de Gauss afirma que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada (chamada de superfície gaussiana) é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo ( ). Matematicamente, é expressa como:
A Lei de Gauss afirma que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada (chamada de superfície gaussiana) é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo (
Onde:
-
é o fluxo elétrico, -
é o campo elétrico, -
é um elemento de área da superfície, -
é a carga total dentro da superfície.
Passo 3
Escolhendo a superfície gaussiana:
Devido à simetria esférica do problema, vamos escolher uma superfície gaussiana que também seja uma esfera de raio centrada no mesmo ponto que a esfera carregada. Isso simplifica os cálculos porque o campo elétrico terá a mesma magnitude em todos os pontos da superfície gaussiana e será perpendicular a ela.
Devido à simetria esférica do problema, vamos escolher uma superfície gaussiana que também seja uma esfera de raio
Passo 4
Calculando o fluxo elétrico (
):
Como o campo elétrico é constante em magnitude e perpendicular à superfície gaussiana:
Como o campo elétrico
Onde
é a área da esfera gaussiana.
Passo 5
Determinação da carga encerrada (
):
Dependendo da posição de em relação a
, teremos diferentes cargas encerradas.
Dependendo da posição de
-
Para
: A carga está distribuída uniformemente, então a carga encerrada é proporcional ao volume dentro de raio : -
Para
: Toda a carga está dentro da superfície gaussiana.
Passo 6
Aplicando a Lei de Gauss para cada caso:
-
Caso (a)
: Resolvendo para: -
Caso (b)
: Resolvendo para: -
Caso ©
: Resolvendo para:
Resposta
O módulo do campo elétrico
no ponto
é:
-
(a) Para
: -
(b) Para
: -
© Para
: