Uma carga positiva
é distribuída uniformemente ao longo do volume de uma esfera isolante de raio
. Determine o módulo do campo elétrico em um ponto
a uma distância
do centro da esfera. Considere os casos em que (a)
e (b)
. © Esboce o gráfico de
em função de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma esfera isolante de raio
com uma carga positiva
espalhada de maneira uniforme pelo seu volume. A gente quer descobrir a intensidade do campo elétrico
num ponto
que está a uma distância
do centro da esfera. A gente vai analisar dois casos: quando
é menor que
(dentro da esfera) e quando
é maior que
(fora da esfera). Além disso, vamos fazer um gráfico de
em função de
. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é super útil pra calcular campos elétricos em situações de simetria.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar o caso em que
, ou seja, o ponto
está fora da esfera. Nessa situação, toda a carga
está dentro de uma superfície gaussiana esférica de raio
. A Lei de Gauss nos diz que o fluxo elétrico através dessa superfície é igual à carga total dentro dela dividida pela permissividade do vácuo,
.
A fórmula da Lei de Gauss é:
Como a distribuição de carga é uniforme e a esfera é simétrica, o campo elétrico
tem a mesma intensidade em todos os pontos da superfície gaussiana e é radial. Então, o fluxo elétrico fica:
Resolvendo para
:
Isso significa que fora da esfera, o campo elétrico diminui com o quadrado da distância.
Passo 3
Agora, vamos ver o caso em que
, ou seja, o ponto
está dentro da esfera. Aqui, nem toda a carga
está dentro da superfície gaussiana de raio
, só a parte que está dentro desse raio.
A quantidade de carga dentro dessa superfície é proporcional ao volume da esfera de raio
. Então:
Aplicando a Lei de Gauss novamente:
Resolvendo para
:
Isso mostra que dentro da esfera, o campo elétrico cresce linearmente com a distância
.
Passo 4
Por último, vamos imaginar como fica o gráfico de
em função de
. Para
, o campo aumenta de forma linear conforme
aumenta. Quando
, o campo alcança o valor máximo dentro da esfera. Depois, para
, o campo começa a diminuir conforme
. Então, o gráfico tem uma subida reta até
e depois cai rápido seguindo uma curva decrescente.
Resposta
(a) Para
:
(b) Para
:
© O gráfico de
em função de
mostra
aumentando linearmente para
e diminuindo proporcional a
para
.