Uma carga positiva Q é distribuída uniformemente ao longo do volume de uma esfera isolante de raio R. Determine o módulo do campo elétrico em um ponto P a uma distância r do centro da esfera. Considere os casos em que (a) r e (b) r>R. © Esboce o gráfico de E em função de r.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma esfera isolante de raio R com uma carga positiva Q espalhada de maneira uniforme pelo seu volume. A gente quer descobrir a intensidade do campo elétrico E num ponto P que está a uma distância r do centro da esfera. A gente vai analisar dois casos: quando r é menor que R (dentro da esfera) e quando r é maior que R (fora da esfera). Além disso, vamos fazer um gráfico de E em função de r. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é super útil pra calcular campos elétricos em situações de simetria.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar o caso em que r > R, ou seja, o ponto P está fora da esfera. Nessa situação, toda a carga Q está dentro de uma superfície gaussiana esférica de raio r. A Lei de Gauss nos diz que o fluxo elétrico através dessa superfície é igual à carga total dentro dela dividida pela permissividade do vácuo, epsilon0.
A fórmula da Lei de Gauss é:
oint E cdot dA = Qencepsilon0
Como a distribuição de carga é uniforme e a esfera é simétrica, o campo elétrico E tem a mesma intensidade em todos os pontos da superfície gaussiana e é radial. Então, o fluxo elétrico fica:
E cdot 4pi r^2 = Qepsilon0
Resolvendo para E:
E = Q4pi epsilon0 r^2
Isso significa que fora da esfera, o campo elétrico diminui com o quadrado da distância.

Passo 3

Agora, vamos ver o caso em que r < R, ou seja, o ponto P está dentro da esfera. Aqui, nem toda a carga Q está dentro da superfície gaussiana de raio r, só a parte que está dentro desse raio.
A quantidade de carga dentro dessa superfície é proporcional ao volume da esfera de raio r. Então:
Qenc = Q cdot ( r^3R^3 )
Aplicando a Lei de Gauss novamente:
E cdot 4pi r^2 = Q r^34pi epsilon0 R^3
Resolvendo para E:
E = Q r4pi epsilon0 R^3
Isso mostra que dentro da esfera, o campo elétrico cresce linearmente com a distância r.

Passo 4

Por último, vamos imaginar como fica o gráfico de E em função de r. Para r < R, o campo aumenta de forma linear conforme r aumenta. Quando r = R, o campo alcança o valor máximo dentro da esfera. Depois, para r > R, o campo começa a diminuir conforme 1/r^2. Então, o gráfico tem uma subida reta até r = R e depois cai rápido seguindo uma curva decrescente.

Resposta

(a) Para r < R:
E = dfracQ , r4pi epsilon0 R^3
(b) Para r > R:
E = dfracQ4pi epsilon0 r^2
© O gráfico de E em função de r mostra E aumentando linearmente para r < R e diminuindo proporcional a 1/r^2 para r > R.

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