Uma carga positiva é distribuída uniformemente ao longo do volume de uma esfera isolante de raio . Determine o módulo do campo elétrico em um ponto a uma distância do centro da esfera. Considere os casos em que (a) e (b) . © Esboce o gráfico de em função de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma esfera isolante de raio com uma carga positiva espalhada de maneira uniforme pelo seu volume. A gente quer descobrir a intensidade do campo elétrico num ponto que está a uma distância do centro da esfera. A gente vai analisar dois casos: quando é menor que (dentro da esfera) e quando é maior que (fora da esfera). Além disso, vamos fazer um gráfico de em função de . Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é super útil pra calcular campos elétricos em situações de simetria.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar o caso em que , ou seja, o ponto está fora da esfera. Nessa situação, toda a carga está dentro de uma superfície gaussiana esférica de raio . A Lei de Gauss nos diz que o fluxo elétrico através dessa superfície é igual à carga total dentro dela dividida pela permissividade do vácuo, .
A fórmula da Lei de Gauss é:
Como a distribuição de carga é uniforme e a esfera é simétrica, o campo elétrico tem a mesma intensidade em todos os pontos da superfície gaussiana e é radial. Então, o fluxo elétrico fica:
Resolvendo para :
Isso significa que fora da esfera, o campo elétrico diminui com o quadrado da distância.

Passo 3

Agora, vamos ver o caso em que , ou seja, o ponto está dentro da esfera. Aqui, nem toda a carga está dentro da superfície gaussiana de raio , só a parte que está dentro desse raio.
A quantidade de carga dentro dessa superfície é proporcional ao volume da esfera de raio . Então:
Aplicando a Lei de Gauss novamente:
Resolvendo para :
Isso mostra que dentro da esfera, o campo elétrico cresce linearmente com a distância .

Passo 4

Por último, vamos imaginar como fica o gráfico de em função de . Para , o campo aumenta de forma linear conforme aumenta. Quando , o campo alcança o valor máximo dentro da esfera. Depois, para , o campo começa a diminuir conforme . Então, o gráfico tem uma subida reta até e depois cai rápido seguindo uma curva decrescente.

Resposta

(a) Para :
(b) Para :
© O gráfico de em função de mostra aumentando linearmente para e diminuindo proporcional a para .

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