Uma carga positiva é distribuída uniformemente sobre a parte positiva do eixo desde até . Uma carga puntiforme negativa está sobre a parte positiva do eixo , a uma distância da origem. Mostre que para os pontos , e . Explique a razão desse resultado.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas cargas:
  1. Uma carga positiva está distribuída de forma uniforme ao longo do eixo positivo , desde até .
  2. Uma carga pontual negativa está posicionada no eixo positivo , a uma distância da origem.
A pergunta quer que mostremos que, quando é muito maior que (ou seja, ), as componentes das forças e se aproximam de:
Para resolver isso, vamos precisar utilizar a Lei de Coulomb para calcular a força entre cargas elétricas e integrar ao longo da distribuição contínua de carga.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar um pequeno elemento de carga na distribuição ao longo do eixo . Como a carga está distribuída uniformemente, podemos escrever:
onde é a densidade linear de carga, dada por:
pois a carga total está distribuída uniformemente no comprimento .

Passo 3

Agora, vamos calcular a força exercida pela carga sobre a carga . Pela Lei de Coulomb:
onde é a distância entre e , e é o vetor unitário na direção de .

Passo 4

Vamos determinar a distância entre um elemento em e a carga em . Usando o Teorema de Pitágoras:
E o vetor unitário terá componentes:

Passo 5

Substituindo e na expressão de :
Simplificando:

Passo 6

Para encontrar a força total , integramos de a :

Passo 7

Vamos resolver a integral de primeiro. Fazendo uma substituição , podemos simplificar a integral e encontrar que para , a integral se aproxima de:
No entanto, notando que para , o termo dominante é , então:

Passo 8

Agora, vamos calcular . Utilizando a mesma aproximação para , a integral simplifica para:
Portanto:

Resposta

Para , as componentes das forças são aproximadamente:
Isso ocorre porque, quando a distância é muito maior que , a distribuição de carga ao longo do eixo parece quase como uma carga pontual, dominando a força . Já a componente surge devido à extensão finita da distribuição de carga, sendo proporcional a e decaindo mais rapidamente com .

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