Uma carga positiva
é distribuída uniformemente sobre a parte positiva do eixo
desde
até
. Uma carga puntiforme negativa
está sobre a parte positiva do eixo
, a uma distância
da origem. Mostre que para os pontos
,
e
. Explique a razão desse resultado.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas cargas:
- Uma carga positiva
está distribuída de forma uniforme ao longo do eixo positivo , desde até . - Uma carga pontual negativa
está posicionada no eixo positivo , a uma distância da origem.
A pergunta quer que mostremos que, quando
é muito maior que
(ou seja,
), as componentes das forças
e
se aproximam de:
Para resolver isso, vamos precisar utilizar a Lei de Coulomb para calcular a força entre cargas elétricas e integrar ao longo da distribuição contínua de carga.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar um pequeno elemento de carga
na distribuição ao longo do eixo
. Como a carga está distribuída uniformemente, podemos escrever:
onde
é a densidade linear de carga, dada por:
pois a carga total
está distribuída uniformemente no comprimento
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a força
exercida pela carga
sobre a carga
. Pela Lei de Coulomb:
onde
é a distância entre
e
, e
é o vetor unitário na direção de
.
Passo 4
Vamos determinar a distância
entre um elemento
em
e a carga
em
. Usando o Teorema de Pitágoras:
E o vetor unitário
terá componentes:
Passo 5
Substituindo
e
na expressão de
:
Simplificando:
Passo 6
Para encontrar a força total
, integramos
de
a
:
Passo 7
Vamos resolver a integral de
primeiro. Fazendo uma substituição
, podemos simplificar a integral e encontrar que para
, a integral se aproxima de:
No entanto, notando que para
, o termo dominante é
, então:
Passo 8
Agora, vamos calcular
. Utilizando a mesma aproximação para
, a integral simplifica para:
Portanto:
Resposta
Para
, as componentes das forças são aproximadamente:
Isso ocorre porque, quando a distância
é muito maior que
, a distribuição de carga ao longo do eixo
parece quase como uma carga pontual, dominando a força
. Já a componente
surge devido à extensão finita da distribuição de carga, sendo proporcional a
e decaindo mais rapidamente com
.
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está localizada em
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,