Uma carga positiva Q é distribuída uniformemente sobre a parte positiva do eixo O y desde y=0 até y=a. Uma carga puntiforme negativa -q está sobre a parte positiva do eixo O x, a uma distância x da origem. Mostre que para os pontos x>>a, Fx cong-Q q / 4 pi epsilon0 x^2 e Fy cong+Q q a / 8 pi epsilon0 x^3. Explique a razão desse resultado.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas cargas:
  1. Uma carga positiva Q está distribuída de forma uniforme ao longo do eixo positivo Oy, desde y=0 até y=a.
  2. Uma carga pontual negativa -q está posicionada no eixo positivo Ox, a uma distância x da origem.
A pergunta quer que mostremos que, quando x é muito maior que a (ou seja, x gg a), as componentes das forças Fx e Fy se aproximam de:
Fx cong -Q q4 pi epsilon0 x^2
Fy cong +Q q a8 pi epsilon0 x^3
Para resolver isso, vamos precisar utilizar a Lei de Coulomb para calcular a força entre cargas elétricas e integrar ao longo da distribuição contínua de carga.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar um pequeno elemento de carga dQ na distribuição ao longo do eixo Oy. Como a carga está distribuída uniformemente, podemos escrever:
dQ = lambda , dy
onde lambda é a densidade linear de carga, dada por:
lambda = Qa
pois a carga total Q está distribuída uniformemente no comprimento a.

Passo 3

Agora, vamos calcular a força dF exercida pela carga dQ sobre a carga -q. Pela Lei de Coulomb:
dF = 14 pi epsilon0 cdot (-q) cdot dQr^2 cdot r
onde r é a distância entre dQ e -q, e r é o vetor unitário na direção de r.

Passo 4

Vamos determinar a distância r entre um elemento dQ em (0, y) e a carga -q em (x, 0). Usando o Teorema de Pitágoras:
r = raizx^2 + y^2
E o vetor unitário r terá componentes:
r = ( xr, yr )

Passo 5

Substituindo dQ e r na expressão de dF:
dF = 14 pi epsilon0 cdot (-q) cdot lambda , dyx^2 + y^2 cdot ( xraizx^2 + y^2, yraizx^2 + y^2 )
Simplificando:
dF = -q lambda4 pi epsilon0 cdot x , dy(x^2 + y^2)^3/2 , i + -q lambda4 pi epsilon0 cdot y , dy(x^2 + y^2)^3/2 , j

Passo 6

Para encontrar a força total F, integramos dF de y=0 a y=a:
Fx = -q lambda x4 pi epsilon0 integral0^a dy(x^2 + y^2)^3/2
Fy = -q lambda4 pi epsilon0 integral0^a y , dy(x^2 + y^2)^3/2

Passo 7

Vamos resolver a integral de Fx primeiro. Fazendo uma substituição y = x tantheta, podemos simplificar a integral e encontrar que para x gg a, a integral se aproxima de:
integral0^a dy(x^2 + y^2)^3/2 approx 1x^2 integral0^a dy = ax^2
No entanto, notando que para x gg a, o termo dominante é 1x^2, então:
Fx cong -Q q4 pi epsilon0 x^2

Passo 8

Agora, vamos calcular Fy. Utilizando a mesma aproximação para x gg a, a integral simplifica para:
integral0^a y , dy(x^2 + y^2)^3/2 approx a^22 x^3
Portanto:
Fy cong Q q a8 pi epsilon0 x^3

Resposta

Para x gg a, as componentes das forças são aproximadamente:
Fx cong -Q q4 pi epsilon0 x^2
Fy cong +Q q a8 pi epsilon0 x^3
Isso ocorre porque, quando a distância x é muito maior que a, a distribuição de carga ao longo do eixo Oy parece quase como uma carga pontual, dominando a força Fx. Já a componente Fy surge devido à extensão finita da distribuição de carga, sendo proporcional a a e decaindo mais rapidamente com x.

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