Duas cargas livres puntiformes
e
, estão separadas por uma distância
. Uma terceira carga
é colocada entre
e
de tal modo que o sistema formado pelas três cargas fica em equilíbrio. Determinar a posição, o módulo e o sinal da terceira carga. O equilíbrio da terceira carga é estável na direção da reta que passa pelas cargas?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre equilíbrio de cargas elétricas. Temos duas cargas fixas:
e
, separadas por uma distância
. Queremos encontrar a posição, o módulo e o sinal de uma terceira carga
que, quando colocada entre elas, faz com que todo o sistema fique em equilíbrio. Além disso, vamos verificar se esse equilíbrio é estável na direção da linha que liga as cargas. Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei de Coulomb, que descreve a força entre cargas elétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar que a terceira carga
está a uma distância
de
e, portanto, a uma distância
de
. Como o sistema está em equilíbrio, a força que
exerce sobre
deve ser igual e oposta à força que
exerce sobre
. Vamos usar a Lei de Coulomb:
Aqui,
é a constante de Coulomb.
Passo 3
Como queremos que as forças se equilibrem, podemos simplificar a equação cancelando
e
(assumindo que
):
Sabendo que
e
, substituímos:
Os
também se cancelam:
Passo 4
Agora, resolvemos para
. Vamos multiplicar ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Expandindo o lado esquerdo:
Rearranjando os termos:
Passo 5
Essa é uma equação quadrática em
. Vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante:
Então:
Temos duas soluções:
Então, a posição de
é a $ \frac{l}{3}$ de
.
Passo 6
Agora, vamos encontrar o módulo e o sinal de
. Para que as forças se equilibrem,
deve ser de sinal oposto às cargas fixas, ou seja,
deve ser negativa. O módulo exato depende das forças, mas como já igualamos as forças, só sabemos que
pode ser qualquer valor que satisfaça a relação das forças.
Passo 7
Por último, vamos verificar a estabilidade do equilíbrio. Se deslocarmos
um pouquinho para a esquerda ou direita, notamos que as forças não irão buscar retornar
à posição inicial. Isso significa que o equilíbrio é instável na direção da reta que passa pelas cargas.
Resposta
A terceira carga
deve ser de sinal negativo, localizada a
de
. Além disso, o equilíbrio dessa carga é instável na direção da linha que liga as cargas.
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até
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,
e
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12 - Uma tubulação, com
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,
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e
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e
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. Faça uma representação gráfica em um plano cartesiano.