Duas cargas livres puntiformes e , estão separadas por uma distância . Uma terceira carga é colocada entre e de tal modo que o sistema formado pelas três cargas fica em equilíbrio. Determinar a posição, o módulo e o sinal da terceira carga. O equilíbrio da terceira carga é estável na direção da reta que passa pelas cargas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre equilíbrio de cargas elétricas. Temos duas cargas fixas: e , separadas por uma distância . Queremos encontrar a posição, o módulo e o sinal de uma terceira carga que, quando colocada entre elas, faz com que todo o sistema fique em equilíbrio. Além disso, vamos verificar se esse equilíbrio é estável na direção da linha que liga as cargas. Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei de Coulomb, que descreve a força entre cargas elétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar que a terceira carga está a uma distância de e, portanto, a uma distância de . Como o sistema está em equilíbrio, a força que exerce sobre deve ser igual e oposta à força que exerce sobre . Vamos usar a Lei de Coulomb:
Aqui, é a constante de Coulomb.

Passo 3

Como queremos que as forças se equilibrem, podemos simplificar a equação cancelando e (assumindo que ):
Sabendo que e , substituímos:
Os também se cancelam:

Passo 4

Agora, resolvemos para . Vamos multiplicar ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Expandindo o lado esquerdo:
Rearranjando os termos:

Passo 5

Essa é uma equação quadrática em . Vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante:
Então:
Temos duas soluções:
ãí
Então, a posição de é a $ \frac{l}{3}$ de .

Passo 6

Agora, vamos encontrar o módulo e o sinal de . Para que as forças se equilibrem, deve ser de sinal oposto às cargas fixas, ou seja, deve ser negativa. O módulo exato depende das forças, mas como já igualamos as forças, só sabemos que pode ser qualquer valor que satisfaça a relação das forças.

Passo 7

Por último, vamos verificar a estabilidade do equilíbrio. Se deslocarmos um pouquinho para a esquerda ou direita, notamos que as forças não irão buscar retornar à posição inicial. Isso significa que o equilíbrio é instável na direção da reta que passa pelas cargas.

Resposta

A terceira carga deve ser de sinal negativo, localizada a de . Além disso, o equilíbrio dessa carga é instável na direção da linha que liga as cargas.

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