Duas cargas livres puntiformes q1=+q e q2=+4 q, estão separadas por uma distância l. Uma terceira carga q0 é colocada entre q1 e q2 de tal modo que o sistema formado pelas três cargas fica em equilíbrio. Determinar a posição, o módulo e o sinal da terceira carga. O equilíbrio da terceira carga é estável na direção da reta que passa pelas cargas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre equilíbrio de cargas elétricas. Temos duas cargas fixas: q1=+q e q2=+4q, separadas por uma distância l. Queremos encontrar a posição, o módulo e o sinal de uma terceira carga q0 que, quando colocada entre elas, faz com que todo o sistema fique em equilíbrio. Além disso, vamos verificar se esse equilíbrio é estável na direção da linha que liga as cargas. Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei de Coulomb, que descreve a força entre cargas elétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar que a terceira carga q0 está a uma distância x de q1 e, portanto, a uma distância l - x de q2. Como o sistema está em equilíbrio, a força que q1 exerce sobre q0 deve ser igual e oposta à força que q2 exerce sobre q0. Vamos usar a Lei de Coulomb:
F = k |q1 q0|x^2 = k |q2 q0|(l - x)^2
Aqui, k é a constante de Coulomb.

Passo 3

Como queremos que as forças se equilibrem, podemos simplificar a equação cancelando k e q0 (assumindo que q0 neq 0):
q1x^2 = q2(l - x)^2
Sabendo que q1 = q e q2 = 4q, substituímos:
qx^2 = 4q(l - x)^2
Os q também se cancelam:
1x^2 = 4(l - x)^2

Passo 4

Agora, resolvemos para x. Vamos multiplicar ambos os lados por x^2 (l - x)^2 para eliminar os denominadores:
(l - x)^2 = 4x^2
Expandindo o lado esquerdo:
l^2 - 2lx + x^2 = 4x^2
Rearranjando os termos:
l^2 - 2lx - 3x^2 = 0

Passo 5

Essa é uma equação quadrática em x. Vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
x = 2l pm raiz(2l)^2 - 4 cdot (-3) cdot l^22 cdot (-3)
Calculando o discriminante:
De
Então:
x = 2l pm 4l-6
Temos duas soluções:
x = 6l-6 = -l (Não faz sentido físico) ãí
x = -2l-6 = l3
Então, a posição de q0 é a $ \frac{l}{3}$ de l3.

Passo 6

Agora, vamos encontrar o módulo e o sinal de q0. Para que as forças se equilibrem, q0 deve ser de sinal oposto às cargas fixas, ou seja, q0 deve ser negativa. O módulo exato depende das forças, mas como já igualamos as forças, só sabemos que |q0| pode ser qualquer valor que satisfaça a relação das forças.

Passo 7

Por último, vamos verificar a estabilidade do equilíbrio. Se deslocarmos q0 um pouquinho para a esquerda ou direita, notamos que as forças não irão buscar retornar q0 à posição inicial. Isso significa que o equilíbrio é instável na direção da reta que passa pelas cargas.

Resposta

A terceira carga q0 deve ser de sinal negativo, localizada a l3 de q1. Além disso, o equilíbrio dessa carga é instável na direção da linha que liga as cargas.

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