Uma carga puntiforme
é posicionada no centro de uma casca esférica condutora, neutra, de raio interno
e raio externo
. O sistema se encontra em equilíbrio eletrostático.
Determine as densidades superficiais de carga induzida nas superfícies interna e externa da casca.
Determine as densidades superficiais de carga induzida nas superfícies interna e externa da casca.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma carga pontual
colocada no centro de uma casca esférica condutora que é neutra e tem um raio interno
e externo
(onde
). Queremos descobrir como essa carga induz uma distribuição de carga nas superfícies interna e externa da casca. Vamos usar conceitos de eletrostática e propriedades dos condutores para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, lembrar que em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico dentro de um condutor é zero. Isso significa que qualquer carga livre no condutor se redistribui de forma que o campo interno se anule. No nosso caso, a casca é condutora e neutra inicialmente.
Passo 3
Como temos uma carga
no centro, essa carga vai induzir uma carga na superfície interna da casca. Para que o campo dentro do material condutor seja zero, a carga induzida na superfície interna deve ser igual a
. Isso cancela o campo da carga central dentro do condutor.
Matematicamente:
Passo 4
Agora, a casca como um todo é neutra. Se a superfície interna tem carga
, a superfície externa precisa ter uma carga igual e oposta para que a casca total permaneça neutra. Então, a carga na superfície externa será:
Passo 5
Para encontrar as densidades superficiais de carga, que são as cargas por unidade de área, vamos usar a fórmula:
Onde
é a área da superfície.
Passo 6
Calculando a densidade superficial na superfície interna (raio
):
A área de uma esfera é
, então:
Passo 7
Calculando a densidade superficial na superfície externa (raio
):
A área de uma esfera é
, então:
Resposta
As densidades superficiais de carga induzida na casca são: