Uma carga puntiforme q é posicionada no centro de uma casca esférica condutora, neutra, de raio interno a e raio externo b>a. O sistema se encontra em equilíbrio eletrostático.
Determine as densidades superficiais de carga induzida nas superfícies interna e externa da casca.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma carga pontual colocada no centro de uma casca esférica condutora que é neutra e tem um raio interno e externo (onde ). Queremos descobrir como essa carga induz uma distribuição de carga nas superfícies interna e externa da casca. Vamos usar conceitos de eletrostática e propriedades dos condutores para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, lembrar que em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico dentro de um condutor é zero. Isso significa que qualquer carga livre no condutor se redistribui de forma que o campo interno se anule. No nosso caso, a casca é condutora e neutra inicialmente.

Passo 3

Como temos uma carga Qinterna = -q no centro, essa carga vai induzir uma carga na superfície interna da casca. Para que o campo dentro do material condutor seja zero, a carga induzida na superfície interna deve ser igual a . Isso cancela o campo da carga central dentro do condutor.
Matematicamente:

Passo 4

Agora, a casca como um todo é neutra. Se a superfície interna tem carga Qexterna = +q , a superfície externa precisa ter uma carga igual e oposta para que a casca total permaneça neutra. Então, a carga na superfície externa será:

Passo 5

Para encontrar as densidades superficiais de carga, que são as cargas por unidade de área, vamos usar a fórmula:
sigma = QA
Onde é a área da superfície.

Passo 6

Calculando a densidade superficial na superfície interna (raio sigmainterna = Qinterna4pi a^2 = -q4pi a^2 ):
A área de uma esfera é , então:

Passo 7

Calculando a densidade superficial na superfície externa (raio sigmaexterna = Qexterna4pi b^2 = q4pi b^2 ):
A área de uma esfera é , então:

Resposta

As densidades superficiais de carga induzida na casca são:
sigmainterna = -q4pi a^2
sigmaexterna = q4pi b^2

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