EXERCÍCIO 8 Uma fina concha esférica de raio a tem uma densidade superficial de carga rhos. Use a lei de Gauss para determinar E.
Resp. E=0 para R;
E=R rhos a^2 /(varepsilon R^2) para R>a

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede. Temos uma concha esférica muito fina com raio e densidade superficial de carga . Nosso objetivo é determinar o campo elétrico em diferentes regiões usando a Lei de Gauss. Para isso, vamos precisar entender a Lei de Gauss e como aplicá-la a simetrias esféricas.

Passo 2

Entendendo a Lei de Gauss:
A Lei de Gauss nos ajuda a calcular o campo elétrico quando a distribuição de carga possui alguma simetria, como a esférica. A lei é dada por:
ointsuperfície E cdot dA = Qencvarepsilon0 í
Aqui, representa a integral sobre uma superfície fechada, é o campo elétrico, é um elemento da área da superfície, é a carga total encerrada pela superfície, e é a permissividade do vácuo.

Passo 3

Escolhendo a Superfície de Gauss:
Como a concha é esférica e as cargas estão distribuídas de forma uniforme, vamos escolher uma superfície de Gauss que também seja uma esfera com raio . Isso simplifica os cálculos devido à simetria.

Passo 4

Analisando duas regiões: oint E cdot dA = 0varepsilon0 Rightarrow E = 0 e oint E cdot dA = Qvarepsilon0 Rightarrow E cdot 4pi R^2 = rhos cdot 4pi a^2varepsilon0 :
  1. Para E = rhos a^2varepsilon0 R^2 :
    • Estamos dentro da concha esférica.
    • Como a concha é fina, não há carga dentro dessa região ( ).
    • Aplicando a Lei de Gauss:
  2. Para :
    • Estamos fora da concha, em uma região onde todo o carregamento da concha está dentro da superfície de Gauss.
    • A carga total na concha é .
    • Aplicando a Lei de Gauss: Resolvendо para :
    • A direção do campo elétrico é radial ( ).

Resposta

E=0 para R < a;
E = R rhos a^2varepsilon0 R^2 para R > a

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