EXERCÍCIO 8 Uma fina concha esférica de raio
tem uma densidade superficial de carga
. Use a lei de Gauss para determinar
.
Resp.
para
;
Resp.
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício pede. Temos uma concha esférica muito fina com raio
e densidade superficial de carga
. Nosso objetivo é determinar o campo elétrico
em diferentes regiões usando a Lei de Gauss. Para isso, vamos precisar entender a Lei de Gauss e como aplicá-la a simetrias esféricas.
Passo 2
Entendendo a Lei de Gauss:
A Lei de Gauss nos ajuda a calcular o campo elétrico quando a distribuição de carga possui alguma simetria, como a esférica. A lei é dada por:
Aqui,
representa a integral sobre uma superfície fechada,
é o campo elétrico,
é um elemento da área da superfície,
é a carga total encerrada pela superfície, e
é a permissividade do vácuo.
Passo 3
Escolhendo a Superfície de Gauss:
Como a concha é esférica e as cargas estão distribuídas de forma uniforme, vamos escolher uma superfície de Gauss que também seja uma esfera com raio
. Isso simplifica os cálculos devido à simetria.
Passo 4
Analisando duas regiões:
e
:
-
Para
: - Estamos dentro da concha esférica.
- Como a concha é fina, não há carga dentro dessa região (
). - Aplicando a Lei de Gauss:
-
Para
: - Estamos fora da concha, em uma região onde todo o carregamento da concha está dentro da superfície de Gauss.
- A carga total na concha é
. - Aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendо para : - A direção do campo elétrico é radial (
).