Dois planos condutores infinitos são paralelos e estão uniformemente carregados com densidades superficiais de carga total +2 sigma e -sigma.
Utilizando a lei de Gauss, determine o campo elétrico produzido por cada plano em todo o espaço.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois planos condutores infinitos, paralelos, com cargas distribuídas uniformemente: um tem densidade superficial de carga +2sigma e o outro -sigma. A gente precisa usar a Lei de Gauss para descobrir o campo elétrico que cada plano produz em todo o espaço ao redor deles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico total PhiE passando por uma superfície fechada é igual à carga total Qin dentro dessa superfície dividida pela constante elétrica varepsilon0:
PhiE = Qinvarepsilon0
O fluxo elétrico PhiE é calculado como:
PhiE = oint E cdot dA
Onde E é o campo elétrico e dA é um elemento de área da superfície.

Passo 3

Como estamos lidando com planos infinitos, o campo elétrico gerado por cada plano é perpendicular à superfície do plano e tem a mesma intensidade em todos os pontos a uma mesma distância do plano. Isso é por causa da simetria do problema.

Passo 4

Vamos analisar o campo elétrico produzido pelo primeiro plano, com densidade superficial de carga +2sigma.
Escolhemos uma superfície gaussiana na forma de um cilindro (chamado de “cilindro de Gauss”) que corta o plano em duas faces paralelas. Devido à simetria, o campo elétrico sai perpendicularmente das faces do cilindro.
Aplicando a Lei de Gauss:
PhiE = E cdot 2A = Qinvarepsilon0
Onde A é a área de uma das faces do cilindro. A carga total dentro do cilindro é Qin = 2sigma A.
Então:
E cdot 2A = 2sigma Avarepsilon0 E = 2sigma2varepsilon0 E = sigmavarepsilon0
Portanto, o campo elétrico produzido pelo plano com carga +2sigma é:
E1 = sigmavarepsilon0 n
Onde n é a direção normal ao plano, apontando para fora do plano.

Passo 5

Agora, vamos calcular o campo elétrico produzido pelo segundo plano, com densidade superficial de carga -sigma.
Usando o mesmo raciocínio com a Lei de Gauss:
PhiE = E cdot 2A = Qinvarepsilon0
A carga total dentro do cilindro agora é Qin = -sigma A.
Então:
E cdot 2A = -sigma Avarepsilon0 E = -sigma2varepsilon0
Mas, considerando que a direção do campo elétrico se inverte devido à carga negativa, temos:
E2 = sigma2varepsilon0 n
Onde n agora aponta para dentro do plano, já que o campo é dirigido em direção ao plano carregado negativamente.

Resposta

O campo elétrico produzido pelo primeiro plano com carga +2sigma é:
E1 = sigmavarepsilon0 n
E o campo elétrico produzido pelo segundo plano com carga -sigma é:
E2 = sigma2varepsilon0 n

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