Dois planos condutores infinitos são paralelos e estão uniformemente carregados com densidades superficiais de carga total
e
.
Utilizando a lei de Gauss, determine o campo elétrico produzido por cada plano em todo o espaço.
Utilizando a lei de Gauss, determine o campo elétrico produzido por cada plano em todo o espaço.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois planos condutores infinitos, paralelos, com cargas distribuídas uniformemente: um tem densidade superficial de carga
e o outro
. A gente precisa usar a Lei de Gauss para descobrir o campo elétrico que cada plano produz em todo o espaço ao redor deles.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico total
passando por uma superfície fechada é igual à carga total
dentro dessa superfície dividida pela constante elétrica
:
O fluxo elétrico
é calculado como:
Onde
é o campo elétrico e
é um elemento de área da superfície.
Passo 3
Como estamos lidando com planos infinitos, o campo elétrico gerado por cada plano é perpendicular à superfície do plano e tem a mesma intensidade em todos os pontos a uma mesma distância do plano. Isso é por causa da simetria do problema.
Passo 4
Vamos analisar o campo elétrico produzido pelo primeiro plano, com densidade superficial de carga
.
Escolhemos uma superfície gaussiana na forma de um cilindro (chamado de “cilindro de Gauss”) que corta o plano em duas faces paralelas. Devido à simetria, o campo elétrico sai perpendicularmente das faces do cilindro.
Aplicando a Lei de Gauss:
Onde
é a área de uma das faces do cilindro. A carga total dentro do cilindro é
.
Então:
Portanto, o campo elétrico produzido pelo plano com carga
é:
Onde
é a direção normal ao plano, apontando para fora do plano.
Passo 5
Agora, vamos calcular o campo elétrico produzido pelo segundo plano, com densidade superficial de carga
.
Usando o mesmo raciocínio com a Lei de Gauss:
A carga total dentro do cilindro agora é
.
Então:
Mas, considerando que a direção do campo elétrico se inverte devido à carga negativa, temos:
Onde
agora aponta para dentro do plano, já que o campo é dirigido em direção ao plano carregado negativamente.
Resposta
O campo elétrico produzido pelo primeiro plano com carga
é:
E o campo elétrico produzido pelo segundo plano com carga
é:
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. Use a lei de Gauss para determinar
.
Resp. para
;
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