Dois planos condutores infinitos são paralelos e estão uniformemente carregados com densidades superficiais de carga total e .
Utilizando a lei de Gauss, determine o campo elétrico produzido por cada plano em todo o espaço.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois planos condutores infinitos, paralelos, com cargas distribuídas uniformemente: um tem densidade superficial de carga e o outro . A gente precisa usar a Lei de Gauss para descobrir o campo elétrico que cada plano produz em todo o espaço ao redor deles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico total passando por uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante elétrica :
O fluxo elétrico é calculado como:
Onde é o campo elétrico e é um elemento de área da superfície.

Passo 3

Como estamos lidando com planos infinitos, o campo elétrico gerado por cada plano é perpendicular à superfície do plano e tem a mesma intensidade em todos os pontos a uma mesma distância do plano. Isso é por causa da simetria do problema.

Passo 4

Vamos analisar o campo elétrico produzido pelo primeiro plano, com densidade superficial de carga .
Escolhemos uma superfície gaussiana na forma de um cilindro (chamado de “cilindro de Gauss”) que corta o plano em duas faces paralelas. Devido à simetria, o campo elétrico sai perpendicularmente das faces do cilindro.
Aplicando a Lei de Gauss:
Onde é a área de uma das faces do cilindro. A carga total dentro do cilindro é .
Então:
Portanto, o campo elétrico produzido pelo plano com carga é:
Onde é a direção normal ao plano, apontando para fora do plano.

Passo 5

Agora, vamos calcular o campo elétrico produzido pelo segundo plano, com densidade superficial de carga .
Usando o mesmo raciocínio com a Lei de Gauss:
A carga total dentro do cilindro agora é .
Então:
Mas, considerando que a direção do campo elétrico se inverte devido à carga negativa, temos:
Onde agora aponta para dentro do plano, já que o campo é dirigido em direção ao plano carregado negativamente.

Resposta

O campo elétrico produzido pelo primeiro plano com carga é:
E o campo elétrico produzido pelo segundo plano com carga é:

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Resp. para ;