EXERCÍCIO 1 Uma placa quadrada no plano x-y está situada no espaço definido por -3 m <= x <= 3 me-3 m <= y <= 3 m. Determine a carga total na placa se a densidade superficial de carga é dada por rhoS=4 y^2(mu C / m^2).
Resp. Q=0,432(mC).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma placa quadrada no plano com lados de a tanto no eixo quanto no . A tarefa é encontrar a carga total na placa, sabendo que a densidade superficial de carga é .
Aqui, vamos usar conceitos de cálculo integral para somar todas as pequenas cargas na placa e encontrar a carga total.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a densidade superficial de carga Q = integral duplaA rhoS , dA nos dá a quantidade de carga por unidade de área em cada ponto da placa. Para encontrar a carga total , precisamos integrar essa densidade sobre toda a área da placa.
Matematicamente, isso fica assim:
Onde é a área da placa.

Passo 3

A placa é um quadrado com Q = integral-3^3 integral-3^3 4 y^2 , dx , dy e variando de a . Vamos configurar os limites da integral dupla dessa forma:
Aqui, estamos integrando de a e de a .

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a integral-3^3 4 y^2 , dx = 4 y^2 integral-3^3 dx = 4 y^2 times (3 - (-3)) = 4 y^2 times 6 = 24 y^2 :
Então, a integral interna simplifica para .

Passo 5

Agora, substituímos isso na integral externa, que é em relação a Q = integral-3^3 24 y^2 , dy :
Vamos calcular essa integral.

Passo 6

Integrando integral 24 y^2 , dy = 24 times y^33 = 8 y^3 em relação a Q = 8 (3)^3 - 8 (-3)^3 = 8 times 27 - 8 times (-27) = 216 + 216 = 432 , muC :
Agora, aplicamos os limites de a :

Resposta

A carga total na placa é .

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