EXERCÍCIO 1 Uma placa quadrada no plano
está situada no espaço definido por
. Determine a carga total na placa se a densidade superficial de carga é dada por
.
Resp.
.
Resp.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma placa quadrada no plano
com lados de
a
tanto no eixo
quanto no
. A tarefa é encontrar a carga total na placa, sabendo que a densidade superficial de carga é
.
Aqui, vamos usar conceitos de cálculo integral para somar todas as pequenas cargas na placa e encontrar a carga total.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a densidade superficial de carga
nos dá a quantidade de carga por unidade de área em cada ponto da placa. Para encontrar a carga total
, precisamos integrar essa densidade sobre toda a área da placa.
Matematicamente, isso fica assim:
Onde
é a área da placa.
Passo 3
A placa é um quadrado com
e
variando de
a
. Vamos configurar os limites da integral dupla dessa forma:
Aqui, estamos integrando
de
a
e
de
a
.
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Então, a integral interna simplifica para
.
Passo 5
Agora, substituímos isso na integral externa, que é em relação a
:
Vamos calcular essa integral.
Passo 6
Integrando
em relação a
:
Agora, aplicamos os limites de
a
:
Resposta
A carga total na placa é
.