Uma carga q está distribuída uniformemente por todo um volume esférico de raio R. (a)Fazendo V=0 no centro da esfera, determine uma expressão para o potencial elétrico para r e r>R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma carga distribuída de forma uniforme dentro de uma esfera de raio . A gente precisa encontrar a expressão do potencial elétrico em dois casos: quando a distância até o ponto onde estamos é menor que (dentro da esfera) e quando é maior que (fora da esfera). Vamos usar conceitos de eletrostática, principalmente a Lei de Gauss e a relação entre campo elétrico e potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o potencial elétrico V(r) = -integral0^r E(r') , dr' está relacionado ao campo elétrico pela integração:
Mas antes de integrarmos, precisamos encontrar o campo elétrico nas duas regiões: dentro e fora da esfera.

Passo 3

Para encontrar oint E cdot dA = Qdentrovarepsilon0 , usamos a Lei de Gauss, que nos diz que:
rho = q43pi R^3
Como a carga está distribuída uniformemente, a densidade de carga é:

Passo 4

Agora, para Qdentro = rho cdot 43pi r^3 = q (r^3R^3) (dentro da esfera), a carga dentro de uma superfície gaussiana de raio E(r) cdot 4pi r^2 = q r^3varepsilon0 R^3 é:
E(r) = q r4pi varepsilon0 R^3
Aplicando a Lei de Gauss:
Isolando :

Passo 5

Para E(r) cdot 4pi r^2 = qvarepsilon0 (fora da esfera), toda a carga E(r) = q4pi varepsilon0 r^2 está dentro da superfície gaussiana, então:
Isolando :

Passo 6

Agora que temos V(r) = -integral0^r q r'4pi varepsilon0 R^3 dr' = -q4pi varepsilon0 R^3 cdot r^22 = -q r^28pi varepsilon0 R^3 em ambas as regiões, vamos integrar para encontrar o potencial V(R) = -q R^28pi varepsilon0 R^3 = -q8pi varepsilon0 R . Lembrando que V(r) = V(R) - integralR^r q4pi varepsilon0 r'^2 dr' = -q8pi varepsilon0 R + q4pi varepsilon0 (1R - 1r) , começamos a integração do centro até o ponto V(r) = q8pi varepsilon0 R - q4pi varepsilon0 r .
Para :
Como estamos definindo no centro, precisamos ajustar o potencial para que faça sentido físico. O potencial fora da esfera deve levar em conta o potencial no limite .
Calculando :
Para :
Simplificando:

Resposta

A expressão do potencial elétrico V(r) = q8pi varepsilon0 R (3 - r^2R^2) & para r < R q4pi varepsilon0 r & para r > R é:

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