Uma carga q está distribuída uniformemente por todo um volume esférico de raio R. (a)Fazendo no centro da esfera, determine uma expressão para o potencial elétrico para e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma carga distribuída de forma uniforme dentro de uma esfera de raio . A gente precisa encontrar a expressão do potencial elétrico em dois casos: quando a distância até o ponto onde estamos é menor que (dentro da esfera) e quando é maior que (fora da esfera). Vamos usar conceitos de eletrostática, principalmente a Lei de Gauss e a relação entre campo elétrico e potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o potencial elétrico está relacionado ao campo elétrico pela integração:
Mas antes de integrarmos, precisamos encontrar o campo elétrico nas duas regiões: dentro e fora da esfera.

Passo 3

Para encontrar , usamos a Lei de Gauss, que nos diz que:
Como a carga está distribuída uniformemente, a densidade de carga é:

Passo 4

Agora, para (dentro da esfera), a carga dentro de uma superfície gaussiana de raio é:
Aplicando a Lei de Gauss:
Isolando :

Passo 5

Para (fora da esfera), toda a carga está dentro da superfície gaussiana, então:
Isolando :

Passo 6

Agora que temos em ambas as regiões, vamos integrar para encontrar o potencial . Lembrando que , começamos a integração do centro até o ponto .
Para :
Como estamos definindo no centro, precisamos ajustar o potencial para que faça sentido físico. O potencial fora da esfera deve levar em conta o potencial no limite .
Calculando :
Para :
Simplificando:

Resposta

A expressão do potencial elétrico é:

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