Uma carga q está distribuída uniformemente por todo um volume esférico de raio R. (a)Fazendo
no centro da esfera, determine uma expressão para o potencial elétrico para
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma carga
distribuída de forma uniforme dentro de uma esfera de raio
. A gente precisa encontrar a expressão do potencial elétrico
em dois casos: quando a distância
até o ponto onde estamos é menor que
(dentro da esfera) e quando
é maior que
(fora da esfera). Vamos usar conceitos de eletrostática, principalmente a Lei de Gauss e a relação entre campo elétrico e potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que o potencial elétrico
está relacionado ao campo elétrico
pela integração:
Mas antes de integrarmos, precisamos encontrar o campo elétrico
nas duas regiões: dentro e fora da esfera.
Passo 3
Para encontrar
, usamos a Lei de Gauss, que nos diz que:
Como a carga está distribuída uniformemente, a densidade de carga
é:
Passo 4
Agora, para
(dentro da esfera), a carga dentro de uma superfície gaussiana de raio
é:
Aplicando a Lei de Gauss:
Isolando
:
Passo 5
Para
(fora da esfera), toda a carga
está dentro da superfície gaussiana, então:
Isolando
:
Passo 6
Agora que temos
em ambas as regiões, vamos integrar para encontrar o potencial
. Lembrando que
, começamos a integração do centro até o ponto
.
Para
:
Como estamos definindo
no centro, precisamos ajustar o potencial para que faça sentido físico. O potencial fora da esfera deve levar em conta o potencial no limite
.
Calculando
:
Para
:
Simplificando:
Resposta
A expressão do potencial elétrico
é: