( 2,0 pontos) Um objeto preso a uma mola uscila com periodo de 0,80 s c amplitude de 10 cm . Em t=0 s, ele se encrutita 5,0 cm à esquerda da possção de equillorio, movendo-se para a esquerda. Qunis sâo a powiçĩo e a orientagio de seu movimento em t=2,0 s ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre Movimento Harmônico Simples (MHS). A gente tem um objeto preso a uma mola que oscila com período de segundos e amplitude de cm. No tempo segundos, ele está cm à esquerda da posição de equilíbrio, movendo-se para a esquerda. Precisamos descobrir qual é a posição e a direção do movimento desse objeto em segundos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que no Movimento Harmônico Simples, a posição do objeto em função do tempo pode ser descrita pela fórmula:
x(t) = A cdot cos(omega t + phi)
Onde:
  • omega = 2piT é a amplitude,
  • omega = 2pi0,80 = 2pi0,8 = 2,5pi , rad/s é a frequência angular,
  • é a fase inicial.
Vamos identificar o valor de . A frequência angular está relacionada ao período ( ) pela fórmula:
Dado que s:

Passo 3

Agora, temos que determinar a fase inicial ( x(0) = -5,0 , cm ). Sabemos que em -5,0 = 10 cdot cos(phi) :
cos(phi) = -0,5
Substituindo na fórmula:
Dividindo ambos os lados por 10:
O cosseno é negativo quando o ângulo está no segundo ou terceiro quadrante. Considerando que o objeto está se movendo para a esquerda (direção negativa), a fase inicial é rad.

Passo 4

Agora que temos x(t) = 10 cdot cos(2,5pi t + 2pi3) e x(2,0) = 10 cdot cos(2,5pi cdot 2 + 2pi3) = 10 cdot cos(5pi + 2pi3) , podemos escrever a equação da posição:
Queremos encontrar a posição em s:

Passo 5

Simplificando os ângulos dentro do cosseno. Sabemos que 5pi + 2pi3 = 3pi + 2pi + 2pi3 = 3pi + 2pi3 = 11pi3 , então:
cos(11pi3) = cos(5pi3)
Mas , então:
E sabemos que .

Passo 6

Substituindo de volta na equação da posição:
x(2,0) = 10 cdot 12 = 5,0 , cm
Então, a posição em s é cm à direita da posição de equilíbrio.

Resposta

Em segundos, o objeto está na posição cm à direita da posição de equilíbrio e está se movendo para a direita.

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