Uma carga q está distribuída uniformemente em um volume esférico de raio R. Tome V=0 no infinito. Determine o potencial V para r.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala que temos uma carga distribuída de forma uniforme dentro de uma esfera com raio . Nosso objetivo é encontrar o potencial elétrico para pontos dentro da esfera, ou seja, quando a distância do ponto até o centro da esfera é menor que ( ). Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a fórmula do potencial elétrico devido a uma distribuição contínua de carga.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que o potencial elétrico V = 14pivarepsilon0 integral dqr' em um ponto devido a uma distribuição de carga é dado pela integral da contribuição de cada elemento de carga à distância desse ponto. A fórmula geral é:
Onde:
  • é a permissividade do vácuo.
  • é a distância entre o elemento de carga e o ponto onde estamos calculando o potencial.

Passo 3

Como a carga está distribuída uniformemente na esfera, a densidade de carga volumétrica rho = q43pi R^3 é constante e pode ser calculada por:
Isso nos dá a quantidade de carga por unidade de volume na esfera.

Passo 4

Para calcular o potencial no interior da esfera ( ), precisamos considerar que somente a carga dentro de um raio contribui para o potencial no ponto considerado. A carga fora desse raio não afeta o potencial interno devido ao teorema de Gauss.

Passo 5

A carga dentro do raio qinterno = rho times 43pi r^3 = q ( r^3R^3 ) é:

Passo 6

Agora, o potencial devido à carga interna ( Vinterno = 14pivarepsilon0 cdot qinternor = 14pivarepsilon0 cdot q r^2R^3 ) é semelhante ao de uma carga pontual no centro da esfera:

Passo 7

Além disso, precisamos considerar o potencial devido à carga que está fora do raio Vexterno = 14pivarepsilon0 cdot q - qinternoR = 14pivarepsilon0 cdot q (1 - r^3R^3)R , que já é tratado como se estivesse concentrado no centro. A carga fora do raio é , e o potencial devido a essa parte é:

Passo 8

Somando os dois potenciais, temos o potencial total no interior da esfera:
V = Vinterno + Vexterno = 14pivarepsilon0 ( q r^2R^3 + q (1 - r^3R^3)R )

Passo 9

Simplificando a expressão:
V = q4pivarepsilon0 R ( r^2R^2 + 1 - r^3R^3 ) = q4pivarepsilon0 R ( 32 - r^22R^2 )

Resposta

O potencial elétrico para V(r) = q4pivarepsilon0 R ( 32 - r^22R^2 ) é:

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