Uma carga está distribuída uniformemente em um volume esférico de raio . Tome no infinito. Determine o potencial para .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala que temos uma carga distribuída de forma uniforme dentro de uma esfera com raio . Nosso objetivo é encontrar o potencial elétrico para pontos dentro da esfera, ou seja, quando a distância do ponto até o centro da esfera é menor que (). Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a fórmula do potencial elétrico devido a uma distribuição contínua de carga.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que o potencial elétrico em um ponto devido a uma distribuição de carga é dado pela integral da contribuição de cada elemento de carga à distância desse ponto. A fórmula geral é:
Onde:
é a permissividade do vácuo.
é a distância entre o elemento de carga e o ponto onde estamos calculando o potencial.
Passo 3
Como a carga está distribuída uniformemente na esfera, a densidade de carga volumétrica é constante e pode ser calculada por:
Isso nos dá a quantidade de carga por unidade de volume na esfera.
Passo 4
Para calcular o potencial no interior da esfera (), precisamos considerar que somente a carga dentro de um raio contribui para o potencial no ponto considerado. A carga fora desse raio não afeta o potencial interno devido ao teorema de Gauss.
Passo 5
A carga dentro do raio é:
Passo 6
Agora, o potencial devido à carga interna () é semelhante ao de uma carga pontual no centro da esfera:
Passo 7
Além disso, precisamos considerar o potencial devido à carga que está fora do raio , que já é tratado como se estivesse concentrado no centro. A carga fora do raio é , e o potencial devido a essa parte é:
Passo 8
Somando os dois potenciais, temos o potencial total no interior da esfera: