Uma carga está distribuída uniformemente em um volume esférico de raio . Tome no infinito. Determine o potencial para .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala que temos uma carga distribuída de forma uniforme dentro de uma esfera com raio . Nosso objetivo é encontrar o potencial elétrico para pontos dentro da esfera, ou seja, quando a distância do ponto até o centro da esfera é menor que ( ). Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a fórmula do potencial elétrico devido a uma distribuição contínua de carga.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que o potencial elétrico em um ponto devido a uma distribuição de carga é dado pela integral da contribuição de cada elemento de carga à distância desse ponto. A fórmula geral é:
Onde:
  • é a permissividade do vácuo.
  • é a distância entre o elemento de carga e o ponto onde estamos calculando o potencial.

Passo 3

Como a carga está distribuída uniformemente na esfera, a densidade de carga volumétrica é constante e pode ser calculada por:
Isso nos dá a quantidade de carga por unidade de volume na esfera.

Passo 4

Para calcular o potencial no interior da esfera ( ), precisamos considerar que somente a carga dentro de um raio contribui para o potencial no ponto considerado. A carga fora desse raio não afeta o potencial interno devido ao teorema de Gauss.

Passo 5

A carga dentro do raio é:

Passo 6

Agora, o potencial devido à carga interna ( ) é semelhante ao de uma carga pontual no centro da esfera:

Passo 7

Além disso, precisamos considerar o potencial devido à carga que está fora do raio , que já é tratado como se estivesse concentrado no centro. A carga fora do raio é , e o potencial devido a essa parte é:

Passo 8

Somando os dois potenciais, temos o potencial total no interior da esfera:

Passo 9

Simplificando a expressão:

Resposta

O potencial elétrico para é:

Exercícios relacionados

Duas partículas carregadas idênticas, separadas uma da outra por , se repelem com de força. Qual é o valor absoluto de cada carga?
Carregando o condutor interno com carga e o condutor externo com carga , esboce as distribuições de cargas nas três superfícies e determine o campo elétrico na região .
Duas esferas carregadas estão separadas por 8 cm . Elas são aproximadas uma da outra até que a força entre elas fique quatro vezes maior. Qual a nova distância de separação?
Quatro cargas puntiformes idênticas, de carga igual a são posicionadas uma em cada vértica de um retângulo que mede por . Qual é o módulo da força eletrostática sobre qualquer uma das cargas?