Considere três bolas pequenas, cada uma com massa m e que estão suspensas, no mesmo ponto, cada uma por um fio de seda de comprimento L. As bolas são carregadas igualmente e a seguir penduradas nos vértices de um triângulo equilátero de lado ell. Assumindo que L=2 raiz3 ell3, calcule a carga de cada bola. (Resp. raiz4 pi epsilono m g ell^2 / 3)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três bolas iguais, cada uma com massa m, penduradas por fios de seda de comprimento L no mesmo ponto. Elas estão carregadas igualmente e formam um triângulo equilátero com lado ell. A gente precisa descobrir quanto de carga cada bola tem. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equilíbrio de forças e a Lei de Coulomb da eletrostática.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar nas forças que atuam em cada bola:
  1. Força gravitacional ( Fg): Puxa a bola para baixo e é igual a Fg = m g, onde g é a aceleração da gravidade.
  2. Força de tensão ( T): É a força exercida pelo fio de seda que mantém a bola suspensa. Essa força tem duas componentes:
    • Componente vertical ( Ty): Equilibra a força gravitacional, então Ty = Fg = m g.
    • Componente horizontal ( Tx): Equilibra a força elétrica de repulsão entre as bolas.
  3. Força elétrica ( Fe): As bolas se repelem por serem carregadas positivamente. Pela Lei de Coulomb, Fe = k q^2ell^2, onde k = 14 pi epsilon0.
Como as bolas estão em equilíbrio, a soma das forças na direção vertical e horizontal deve ser zero.

Passo 3

Vamos relacionar as componentes da força de tensão com o ângulo que o fio faz com a vertical. Sabemos que:
tan(theta) = TxTy = Fem g = k q^2ell^2m g
Então:
tan(theta) = k q^2m g ell^2

Passo 4

Agora, precisamos conectar o comprimento do fio L com o lado do triângulo ell. Como as bolas formam um triângulo equilátero, a distância horizontal entre as bolas é ell. O fio forma um triângulo retângulo com altura L e base ellraiz3 (pela geometria do triângulo equilátero).
Portanto, tan(theta) = ell / raiz3L.
Substituindo L = 2 raiz3 ell3:
tan(theta) = ell / raiz32 raiz3 ell3 = 32 times 3 = 12

Passo 5

Igualando as duas expressões para tan(theta):
k q^2m g ell^2 = 12
Resolvendo para q:
q^2 = m g ell^22 k
Como k = 14 pi epsilon0, substituímos:
q^2 = m g ell^22 times 14 pi epsilon0 = 2 times 4 pi epsilon0 times m g ell^22 = 4 pi epsilon0 m g ell^2 / 3

Resposta

A carga de cada bola é raiz4 pi epsilono m g ell^23.

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