Uma carga q negativa está situada na posição (a,0,a) e outra carga também negativa e de mesmo valor q, está na posição (a, a, a).
a) Encontre uma expressão para o vetor campo elétrico gerado por essas cargas na origem.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem duas cargas negativas, ambas com valor q. Uma está na posição (a, 0, a) e a outra em (a, a, a). O nosso objetivo aqui é descobrir qual é o vetor campo elétrico que essas cargas geram na origem, que é o ponto (0, 0, 0). Para isso, vamos usar os conceitos de campos elétricos gerados por cargas pontuais e como somar esses campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico E gerado por uma carga pontual q em um ponto qualquer é dado pela fórmula:
E = k cdot qr^3 cdot r
Aqui, é a constante eletrostática ( ²²), é o vetor posição da carga em relação ao ponto onde estamos calculando o campo, e é a distância da carga até esse ponto.

Passo 3

Vamos calcular o campo elétrico gerado pela primeira carga, localizada em (a, 0, a), na origem. O vetor posição dessa carga em relação à origem é r1 = raiza^2 + 0^2 + a^2 = raiz2a^2 = araiz2 . A distância E1 = k cdot q(araiz2)^3 cdot (a, 0, a) = k cdot q2raiz2a^3 cdot (a, 0, a) = k cdot q2raiz2a^2 cdot (1, 0, 1) é:
Então, o campo elétrico da primeira carga é:

Passo 4

Agora, vamos calcular o campo elétrico da segunda carga, localizada em (a, a, a), na origem. O vetor posição dessa carga é r2 = raiza^2 + a^2 + a^2 = raiz3a^2 = araiz3 e a distância E2 = k cdot q(araiz3)^3 cdot (a, a, a) = k cdot q3raiz3a^3 cdot (a, a, a) = k cdot q3raiz3a^2 cdot (1, 1, 1) é:
O campo elétrico da segunda carga é então:

Passo 5

Como o campo elétrico é um vetor, para encontrar o campo total na origem, a gente precisa somar os campos individuais das duas cargas:
Etotal = E1 + E2 = k cdot q2raiz2a^2 cdot (1, 0, 1) + k cdot q3raiz3a^2 cdot (1, 1, 1)
Podemos fatorar Etotal = k cdot qa^2 ( 12raiz2(1, 0, 1) + 13raiz3(1, 1, 1) ) para simplificar:

Resposta

O vetor campo elétrico gerado pelas duas cargas na origem é:
Etotal = k cdot qa^2 ( 12raiz2,i + 13raiz3,j + (12raiz2 + 13raiz3)k )

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