Da carga
que uma pequena esfera contém inicialmente, uma parte
é transferida para uma segunda esfera situada nas proximidades. As duas esferas podem ser consideradas cargas pontuais. Para que valor de
a força eletrostática entre as duas esferas é a maior possível?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma esfera com carga inicial
e transfere uma parte dessa carga,
, para outra esfera próxima. Queremos saber qual o valor de
que faz a força eletrostática entre as duas esferas ser a maior possível. Para resolver isso, vamos usar conceitos de força eletrostática e máximos de funções.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como calcular a força eletrostática entre as duas esferas. A Lei de Coulomb nos diz que a força
entre duas cargas pontuais é dada por:
Aqui,
é a constante eletrostática,
e
são as cargas das duas esferas, e
é a distância entre elas.
Passo 3
No nosso caso, a primeira esfera fica com carga
e a segunda esfera recebe a carga
. Então, substituindo na fórmula da força, temos:
Como
e
são constantes, a força depende apenas de
. Vamos chamar essa expressão de
:
Passo 4
Para encontrar o valor de
que maximiza
, vamos derivar
em relação a
e igualar a derivada a zero. A derivada de
é:
Igualando a zero:
Passo 5
Encontramos que
. Para expressar isso como a razão
:
Resposta
O valor de
que maximiza a força eletrostática entre as duas esferas é
.