Da carga Q que uma pequena esfera contém inicialmente, uma parte q é transferida para uma segunda esfera situada nas proximidades. As duas esferas podem ser consideradas cargas pontuais. Para que valor de q / Q a força eletrostática entre as duas esferas é a maior possível?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma esfera com carga inicial e transfere uma parte dessa carga, , para outra esfera próxima. Queremos saber qual o valor de que faz a força eletrostática entre as duas esferas ser a maior possível. Para resolver isso, vamos usar conceitos de força eletrostática e máximos de funções.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como calcular a força eletrostática entre as duas esferas. A Lei de Coulomb nos diz que a força F = k cdot Q1 cdot Q2r^2 entre duas cargas pontuais é dada por:
Aqui, é a constante eletrostática, e são as cargas das duas esferas, e é a distância entre elas.

Passo 3

No nosso caso, a primeira esfera fica com carga F = k cdot (Q - q) cdot qr^2 e a segunda esfera recebe a carga f(q) = (Q - q) cdot q . Então, substituindo na fórmula da força, temos:
Como e são constantes, a força depende apenas de . Vamos chamar essa expressão de :

Passo 4

Para encontrar o valor de f'(q) = Q - 2q que maximiza Q - 2q = 0 implies 2q = Q implies q = Q2 , vamos derivar em relação a e igualar a derivada a zero. A derivada de é:
Igualando a zero:

Passo 5

Encontramos que qQ = Q2Q = 12 . Para expressar isso como a razão :

Resposta

O valor de que maximiza a força eletrostática entre as duas esferas é .

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