A posição angular em radianos de um ponto em uma roda é dada por theta(t)=pi+4 pi t^3, quando t é dado em segundos. © Quanto tempo leva para que o ponto complete 2 revoluções

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão nos pede. Temos uma função que descreve a posição angular de um ponto em uma roda ao longo do tempo: theta(t) = pi + 4 pi t^3. Aqui, theta(t) está em radianos e t é o tempo em segundos. O conteúdo principal envolvido é o movimento angular e a conversão entre radianos e revoluções. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o tempo necessário para que o ponto complete 2 revoluções completas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quantos radianos correspondem a 2 revoluções. Sabemos que uma revolução completa equivale a 2pi radianos. Portanto, 2 revoluções equivalem a:
2 times 2pi = 4pi radianos

Passo 3

Agora, vamos determinar qual é o ângulo final que o ponto precisa atingir para completar essas 2 revoluções. A posição angular inicial é theta(0) = pi radianos. Então, o ângulo final necessário será:
thetafinal = thetainicial + 4pi = pi + 4pi = 5pi radianos

Passo 4

Sabemos que a função que descreve a posição angular é theta(t) = pi + 4 pi t^3. Queremos encontrar o tempo t quando theta(t) = 5pi. Então, montamos a equação:
pi + 4pi t^3 = 5pi

Passo 5

Vamos resolver essa equação para encontrar t. Primeiro, subtraímos pi de ambos os lados:
4pi t^3 = 5pi - pi 4pi t^3 = 4pi

Passo 6

Agora, dividimos ambos os lados por 4pi para isolar t^3:
t^3 = 4pi4pi t^3 = 1

Passo 7

Para encontrar t, tiramos a raiz cúbica de ambos os lados:
t = raiz[3]1 t = 1 segundo

Resposta

O ponto leva 1 segundo para completar 2 revoluções.

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