Um disco de raio possui tem densidade de carga para e densidade de carga igual e oposta - para . A carga total do disco é igual a 0 . (a) Determine o potencial elétrico a uma distância ao longo do eixo do disco. (b) Obtenha uma expressão aproximada para quando .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um disco com raio que tem uma densidade de carga positiva para e negativa para . No total, a carga do disco é zero. Nosso objetivo é encontrar o potencial elétrico em um ponto a uma distância ao longo do eixo do disco. Além disso, vamos ver uma aproximação desse potencial quando é muito maior que (). Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do potencial elétrico para distribuições circulares de carga e entender um pouco de integração em coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula do potencial elétrico devido a um anel de carga. Para um anel com raio e carga , o potencial a uma distância ao longo do eixo é dado por:
Aqui, é a constante de permissividade do vácuo.
Passo 3
Agora, vamos expressar o elemento de carga . Como estamos trabalhando com densidade de carga superficial , para um anel com espessura infinitesimal , a carga é:
Dependendo da região, será ou .
Passo 4
Vamos dividir a integral do potencial em duas partes, de a com carga e de a com carga :
Passo 5
Vamos simplificar a expressão:
Passo 6
Agora, vamos resolver as integrais. A integral de é:
Então, aplicando os limites:
Passo 7
Calculando as diferenças:
Simplificando:
Passo 8
Como e estamos considerando positivo ao longo do eixo, temos:
Passo 9
Essa é a expressão geral para o potencial elétrico ao longo do eixo do disco.
Passo 10
Agora, para a parte (b), quando , podemos fazer uma aproximação. Nesse caso, usando uma expansão em série.
Aplicando isso na expressão para :
Simplificando:
Resposta
O potencial elétrico a uma distância ao longo do eixo do disco é: