Um disco de raio R possui tem densidade de carga +sigma0 para r e densidade de carga igual e oposta - sigma0 para a. A carga total do disco é igual a 0 . (a) Determine o potencial elétrico a uma distância x ao longo do eixo x do disco. (b) Obtenha uma expressão aproximada para V(x) quando x gg R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um disco com raio que tem uma densidade de carga positiva para e negativa para . No total, a carga do disco é zero. Nosso objetivo é encontrar o potencial elétrico em um ponto a uma distância ao longo do eixo do disco. Além disso, vamos ver uma aproximação desse potencial quando é muito maior que ( ). Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do potencial elétrico para distribuições circulares de carga e entender um pouco de integração em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do potencial elétrico dV = 14pivarepsilon0 dqraizx^2 + r^2 devido a um anel de carga. Para um anel com raio e carga , o potencial a uma distância ao longo do eixo é dado por:
Aqui, é a constante de permissividade do vácuo.

Passo 3

Agora, vamos expressar o elemento de carga dq = sigma cdot 2pi r , dr . Como estamos trabalhando com densidade de carga superficial , para um anel com espessura infinitesimal , a carga é:
Dependendo da região, será ou .

Passo 4

Vamos dividir a integral do potencial em duas partes, de V(x) = 14pivarepsilon0 [ integral0^a (+sigma0) cdot 2pi r , drraizx^2 + r^2 + integrala^R (-sigma0) cdot 2pi r , drraizx^2 + r^2 ] a com carga e de a com carga :

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
V(x) = sigma02varepsilon0 [ integral0^a r , drraizx^2 + r^2 - integrala^R r , drraizx^2 + r^2 ]

Passo 6

Agora, vamos resolver as integrais. A integral de integral rraizx^2 + r^2 , dr = raizx^2 + r^2 é:
Então, aplicando os limites:
V(x) = sigma02varepsilon0 [ raizx^2 + r^2 |0^a - raizx^2 + r^2 |a^R ]

Passo 7

Calculando as diferenças:
V(x) = sigma02varepsilon0 [ raizx^2 + a^2 - raizx^2 - (raizx^2 + R^2 - raizx^2 + a^2) ]
Simplificando:
V(x) = sigma02varepsilon0 [ 2raizx^2 + a^2 - raizx^2 + R^2 - raizx^2 ]

Passo 8

Como V(x) = sigma02varepsilon0 [ 2raizx^2 + a^2 - raizx^2 + R^2 - x ] e estamos considerando positivo ao longo do eixo, temos:

Passo 9

Essa é a expressão geral para o potencial elétrico ao longo do eixo do disco.

Passo 10

Agora, para a parte (b), quando V(x) approx sigma02varepsilon0 [ 2(x + a^22x) - (x + R^22x) - x ] , podemos fazer uma aproximação. Nesse caso, V(x) approx sigma02varepsilon0 [ 2x + a^2x - x - R^22x - x ] = sigma02varepsilon0 ( a^2 - R^22x ) usando uma expansão em série.
Aplicando isso na expressão para :
Simplificando:

Resposta

O potencial elétrico a uma distância V(x) = sigma02varepsilon0 [ 2raizx^2 + a^2 - raizx^2 + R^2 - x ] ao longo do eixo do disco é:
V(x) approx sigma02varepsilon0 ( a^2 - R^22x )
E, para , uma aproximação para o potencial é:

Exercícios relacionados