Um disco de raio possui tem densidade de carga para e densidade de carga igual e oposta - para . A carga total do disco é igual a 0 . (a) Determine o potencial elétrico a uma distância ao longo do eixo do disco. (b) Obtenha uma expressão aproximada para quando .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um disco com raio que tem uma densidade de carga positiva para e negativa para . No total, a carga do disco é zero. Nosso objetivo é encontrar o potencial elétrico em um ponto a uma distância ao longo do eixo do disco. Além disso, vamos ver uma aproximação desse potencial quando é muito maior que ( ). Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do potencial elétrico para distribuições circulares de carga e entender um pouco de integração em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do potencial elétrico devido a um anel de carga. Para um anel com raio e carga , o potencial a uma distância ao longo do eixo é dado por:
Aqui, é a constante de permissividade do vácuo.

Passo 3

Agora, vamos expressar o elemento de carga . Como estamos trabalhando com densidade de carga superficial , para um anel com espessura infinitesimal , a carga é:
Dependendo da região, será ou .

Passo 4

Vamos dividir a integral do potencial em duas partes, de a com carga e de a com carga :

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:

Passo 6

Agora, vamos resolver as integrais. A integral de é:
Então, aplicando os limites:

Passo 7

Calculando as diferenças:
Simplificando:

Passo 8

Como e estamos considerando positivo ao longo do eixo, temos:

Passo 9

Essa é a expressão geral para o potencial elétrico ao longo do eixo do disco.

Passo 10

Agora, para a parte (b), quando , podemos fazer uma aproximação. Nesse caso, usando uma expansão em série.
Aplicando isso na expressão para :
Simplificando:

Resposta

O potencial elétrico a uma distância ao longo do eixo do disco é:
E, para , uma aproximação para o potencial é:

Exercícios relacionados

Uma carga puntiforme é posicionada na origem. Uma partícula de massa tem carga de . A partícula é abandonada a partir do repouso em . Sua energia cinética quando passa por é de . Determine a carga .
Uma carga é posicionada em e uma carga é posicionada em . (a) Determine para um ponto genérico sobre o eixo . (b) Determine os pontos sobre o eixo onde o potencial é nulo.
© Qual é o valor do campo elétrico nesses pontos? (d) Faça um esquema mostrando a curva versus .
Um elétron e um próton são colocados em repouso em um campo elétrico uniforme de módulo 520 N/C. Calcule a velocidade escalar de cada partícula 48,0 ns após ser liberada.
Uma estação de rádio transmite em uma frequência de . Os sinais se propagam da antena da estação, em várias direções, à velocidade da luz. Qual das equações representa corretamente a propagação da onda em uma certa direção, onde t está sem segundos e x está em metros
a)
b)
c)
d)
e)