A carga de ruptura W de uma viga em balanço é dada pela fórmula: W * L = K * B * D^2 sendo que B é a largura, L o comprimento, D a profundidade e K uma constante que depende do material da viga. Se o comprimento for aumentado de 1% e a largura de 5 %, de quanto a profundidade deverá ser aproximadamente alterada para manter inalterada a carga de ruptura?

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma viga em balanço cuja carga de ruptura está relacionada ao comprimento , largura e profundidade da viga pela fórmula:

Aqui, é uma constante que depende do material da viga. O exercício quer saber de quanto precisamos alterar a profundidade se aumentarmos o comprimento em 1% e a largura em 5%, mantendo a carga de ruptura igual.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como as mudanças nos parâmetros afetam a equação. Como queremos manter constante, podemos reescrever a equação assim:

Como e são constantes, podemos focar nas relações entre , e .

Passo 3

Vamos considerar as mudanças percentuais nos termos da equação. Se o comprimento aumenta 1%, então passa a ser . Se a largura aumenta 5%, então passa a ser .

Passo 4

Substituindo essas mudanças na equação original:

Como queremos que permaneça igual, podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por :

Passo 5

Simplificando ainda mais, percebemos que:

Para manter a igualdade, a profundidade precisa compensar as mudanças nos outros parâmetros.

Passo 6

Usando proporcionalidades, podemos relacionar as porcentagens:

Onde é a nova profundidade. Resolvendo para :

Passo 7

Calculando a raiz quadrada:

Resposta

A profundidade deve ser diminuída aproximadamente em 2% para manter a carga de ruptura inalterada.

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