Nos exercícios de (1) e (2), determine a derivada direcional no ponto , onde é um vetor unitário na direção . Além disso, calcule em quando for um vetor unitário que maximiza a derivada direcional de naquele ponto.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar a derivada direcional da função no ponto , na direção do vetor unitário que aponta de para , ou seja, na direção de . Além disso, também precisamos calcular essa derivada quando é o vetor que maximiza a derivada direcional de em . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como gradiente e vetores unitários.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada direcional. Basicamente, ela mede como a função está mudando em uma direção específica no ponto . Matematicamente, a derivada direcional de na direção do vetor unitário é dada por:
Aqui, é o gradiente de , e o ponto importante é que precisa ser um vetor unitário, ou seja, ter comprimento igual a 1.
Passo 3
Vamos identificar o vetor . Se as coordenadas de são e de são , então o vetor é:
Para transformar isso em um vetor unitário , precisamos dividir cada componente pelo comprimento do vetor . O comprimento é dado por:
Então, o vetor unitário é:
Passo 4
Agora que temos , podemos calcular a derivada direcional no ponto . Primeiro, precisamos encontrar o gradiente em . Suponha que é uma função de duas variáveis, então:
Calculamos essas derivadas parciais no ponto .
Passo 5
Com o gradiente e o vetor unitário , fazemos o produto escalar:
Isso nos dá a derivada direcional na direção de .
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada direcional que maximiza em . Sabemos que a derivada direcional máxima ocorre na direção do gradiente . Portanto, o vetor unitário que maximiza a derivada direcional é:
Passo 7
Finalmente, calculamos usando :
Isso significa que a derivada direcional máxima é igual ao comprimento do gradiente no ponto .
Resposta
A derivada direcional de no ponto na direção de é:
E a derivada direcional máxima em é igual ao comprimento do gradiente de em :