integral(e^alpha x+e^-alpha x)^2 d x

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver a integral de em relação a . Esse exercício está relacionado à Cálculo Integral, especificamente à expansão de expressões exponenciais e integração de funções exponenciais. Vamos precisar expandir o quadrado da soma e depois integrar cada termo separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o quadrado da soma (e^alpha x + e^-alpha x)^2 = (e^alpha x)^2 + 2 cdot e^alpha x cdot e^-alpha x + (e^-alpha x)^2 . Lembra que . Aplicando isso aqui:

Passo 3

Agora, vamos simplificar cada termo:
  1. (e^alpha x + e^-alpha x)^2 = e^2alpha x + 2 + e^-2alpha x
Então, a expressão expandida fica:

Passo 4

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. A integral que queremos resolver é:
integral (e^2alpha x + 2 + e^-2alpha x) dx = integral e^2alpha x dx + integral 2 dx + integral e^-2alpha x dx

Passo 5

Vamos integrar cada termo:
  1. : A integral de em relação a é . Então, aqui temos .
  2. : A integral de uma constante em relação a é . Então, isso vira .
  3. : Similar ao primeiro termo, a integral é , que pode ser escrita como .

Passo 6

Juntando tudo, temos:
integral (e^alpha x + e^-alpha x)^2 dx = 12alpha e^2alpha x + 2x - 12alpha e^-2alpha x + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral de 12alpha e^2alpha x + 2x - 12alpha e^-2alpha x + C em relação a é:

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