(6) Sendo e . Encontrar: .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício tá pedindo. A gente tem uma função onde e são expressos em termos de e :
O objetivo é encontrar a combinação . Isso envolve cálculo de derivadas parciais, então vamos precisar usar regras de derivação e entender como depende de e .

Passo 2

Primeiro, vamos expressar diretamente em termos de e . Substituindo e nas expressões de :
Vamos expandir cada termo para simplificar.

Passo 3

Expandindo :
Expandindo :
E expandindo :

Passo 4

Agora, somando todos os termos expandidos para encontrar :
Vamos combinar os termos semelhantes.

Passo 5

Combinando os termos:
Simplificando:

Passo 6

Agora que está em termos de e , vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .
Para :
Para :

Passo 7

Agora, substituímos essas derivadas na expressão que queremos encontrar:

Passo 8

Vamos fazer as multiplicações:
Somando esses resultados:

Resposta

A combinação resulta em:

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A carga de ruptura de uma viga em balanço é dada pela fórmula: sendo que é a largura, o comprimento, a profundidade e uma constante que depende do material da viga. Se o comprimento for aumentado de e a largura de , de quanto a profundidade deverá ser aproximadamente alterada para manter inalterada a carga de ruptura?
Se é uma função diferenciável da variável , tome - ay e mostre que satisfaz a equação:
Prove cada identidade, admitindo que e satisfaçam as condições do Teorema da Divergência e que as funções escalares e componentes do campo vetorial tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.