(6) Sendo z=x^2+y^2+x y ; x=2 r+s e y=r-2 s. Encontrar: 3 partial zpartial r+4 partial zpartial s.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício tá pedindo. A gente tem uma função x = 2r + s e y = r - 2s onde e são expressos em termos de e :
O objetivo é encontrar a combinação . Isso envolve cálculo de derivadas parciais, então vamos precisar usar regras de derivação e entender como depende de e .

Passo 2

Primeiro, vamos expressar z = (2r + s)^2 + (r - 2s)^2 + (2r + s)(r - 2s) diretamente em termos de e . Substituindo e nas expressões de :
Vamos expandir cada termo para simplificar.

Passo 3

Expandindo (2r + s)^2 = 4r^2 + 4rs + s^2 :
(r - 2s)^2 = r^2 - 4rs + 4s^2
Expandindo (2r + s)(r - 2s) = 2r^2 - 4rs + s r - 2s^2 = 2r^2 - 3rs - 2s^2 :
E expandindo :

Passo 4

Agora, somando todos os termos expandidos para encontrar z = (4r^2 + 4rs + s^2) + (r^2 - 4rs + 4s^2) + (2r^2 - 3rs - 2s^2) :
Vamos combinar os termos semelhantes.

Passo 5

Combinando os termos:
z = (4r^2 + r^2 + 2r^2) + (4rs - 4rs - 3rs) + (s^2 + 4s^2 - 2s^2)
Simplificando:
z = 7r^2 - 3rs + 3s^2

Passo 6

Agora que partial zpartial r = partialpartial r (7r^2 - 3rs + 3s^2) = 14r - 3s está em termos de partial zpartial s = partialpartial s (7r^2 - 3rs + 3s^2) = -3r + 6s e , vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .
Para :
Para :

Passo 7

Agora, substituímos essas derivadas na expressão que queremos encontrar:
3 partial zpartial r + 4 partial zpartial s = 3(14r - 3s) + 4(-3r + 6s)

Passo 8

Vamos fazer as multiplicações:
3(14r - 3s) = 42r - 9s
4(-3r + 6s) = -12r + 24s
Somando esses resultados:
42r - 9s - 12r + 24s = (42r - 12r) + (-9s + 24s) = 30r + 15s

Resposta

A combinação 30r + 15s resulta em:

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