(6) Sendo
e
. Encontrar:
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício tá pedindo. A gente tem uma função
onde
e
são expressos em termos de
e
:
O objetivo é encontrar a combinação
. Isso envolve cálculo de derivadas parciais, então vamos precisar usar regras de derivação e entender como
depende de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar
diretamente em termos de
e
. Substituindo
e
nas expressões de
:
Vamos expandir cada termo para simplificar.
Passo 3
Expandindo
:
Expandindo
:
E expandindo
:
Passo 4
Agora, somando todos os termos expandidos para encontrar
:
Vamos combinar os termos semelhantes.
Passo 5
Combinando os termos:
Simplificando:
Passo 6
Agora que
está em termos de
e
, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Para
:
Para
:
Passo 7
Agora, substituímos essas derivadas na expressão que queremos encontrar:
Passo 8
Vamos fazer as multiplicações:
Somando esses resultados:
Resposta
A combinação
resulta em:
Exercícios relacionados
A carga de ruptura
de uma viga em balanço é dada pela fórmula:
sendo que
é a largura,
o comprimento,
a profundidade e
uma constante que depende do material da viga. Se o comprimento for aumentado de
e a largura de
, de quanto a profundidade deverá ser aproximadamente alterada para manter inalterada a carga de ruptura?
Se
é uma função diferenciável da variável
, tome
- ay e mostre que
satisfaz a equação:
Prove cada identidade, admitindo que
e
satisfaçam as condições do Teorema da Divergência e que as funções escalares e componentes do campo vetorial tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.