Uma carga Q está uniformemente distribuída em um volume de uma esfera de raio R com uma densidade volumétrica de cargas rho=A(R-r). sendo r a distância ao centro da esfera e A uma constante.
(a) Mostre que a constante A=3 Qpi R^4.
(b) Mostre que: E=14 pi varepsilon0 QR^4(4 R r-3 r^2), r
E=14 pi varepsilon0 Qr^2(r>R)
© A partir de (b) Mostre que:
VrR=Q4 pi varepsilon0 r

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: temos uma carga distribuída uniformemente dentro de uma esfera de raio com uma densidade volumétrica de cargas dada por , onde é a distância ao centro da esfera e é uma constante. O conteúdo envolve Eletrostática, especificamente a distribuição de cargas e campos elétricos. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a densidade volumétrica total e utilizar conceitos de integração para encontrar a constante .

Passo 2

Para encontrar a constante Q = integral rho , dV = integral0^R A(R - r) cdot 4pi r^2 , dr , precisamos garantir que a carga total seja obtida ao integrar a densidade volumétrica sobre todo o volume da esfera. A carga total é dada por:
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 3

Primeiro, multiplicamos Q = 4pi A integral0^R (R - r) r^2 , dr pela área da superfície esférica em coordenadas esféricas:
Q = 4pi A integral0^R (R r^2 - r^3) , dr
Expandindo o termo :

Passo 4

Agora, integramos termo a termo:
Q = 4pi A [ R integral0^R r^2 , dr - integral0^R r^3 , dr ]
Calculando as integrais:
integral0^R r^2 , dr = R^33 e integral0^R r^3 , dr = R^44
Substituindo de volta:
Q = 4pi A ( R cdot R^33 - R^44 ) = 4pi A ( R^43 - R^44 )

Passo 5

Simplificando os termos dentro dos parênteses:
R^43 - R^44 = 4R^4 - 3R^412 = R^412
Então:
Q = 4pi A cdot R^412 = pi A R^43

Passo 6

Resolvendo para A = 3Qpi R^4 :

Resposta

A constante é .

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