Uma carga
está uniformemente distribuída em um volume de uma esfera de raio
com uma densidade volumétrica de cargas
. sendo
a distância ao centro da esfera e
uma constante.
(a) Mostre que a constante
.
(b) Mostre que:
© A partir de (b) Mostre que:
(a) Mostre que a constante
(b) Mostre que:
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: temos uma carga
distribuída uniformemente dentro de uma esfera de raio
com uma densidade volumétrica de cargas dada por
, onde
é a distância ao centro da esfera e
é uma constante. O conteúdo envolve Eletrostática, especificamente a distribuição de cargas e campos elétricos. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a densidade volumétrica total e utilizar conceitos de integração para encontrar a constante
.
Passo 2
Para encontrar a constante
, precisamos garantir que a carga total
seja obtida ao integrar a densidade volumétrica
sobre todo o volume da esfera. A carga total é dada por:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 3
Primeiro, multiplicamos
pela área da superfície esférica em coordenadas esféricas:
Expandindo o termo
:
Passo 4
Agora, integramos termo a termo:
Calculando as integrais:
Substituindo de volta:
Passo 5
Simplificando os termos dentro dos parênteses:
Então:
Passo 6
Resolvendo para
:
Resposta
A constante
é
.