Uma carga está uniformemente distribuída em um volume de uma esfera de raio com uma densidade volumétrica de cargas . sendo a distância ao centro da esfera e uma constante.
(a) Mostre que a constante .
(b) Mostre que:
© A partir de (b) Mostre que:

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: temos uma carga distribuída uniformemente dentro de uma esfera de raio com uma densidade volumétrica de cargas dada por , onde é a distância ao centro da esfera e é uma constante. O conteúdo envolve Eletrostática, especificamente a distribuição de cargas e campos elétricos. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a densidade volumétrica total e utilizar conceitos de integração para encontrar a constante .

Passo 2

Para encontrar a constante , precisamos garantir que a carga total seja obtida ao integrar a densidade volumétrica sobre todo o volume da esfera. A carga total é dada por:
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 3

Primeiro, multiplicamos pela área da superfície esférica em coordenadas esféricas:
Expandindo o termo :

Passo 4

Agora, integramos termo a termo:
Calculando as integrais:
Substituindo de volta:

Passo 5

Simplificando os termos dentro dos parênteses:
Então:

Passo 6

Resolvendo para :

Resposta

A constante é .

Exercícios relacionados

Um cilindro dielétrico infinito de raio , localizado no vácuo, tem polarização dada por
onde é uma constante e é a distância radial até o eixo de simetria do cilindro. A permissividade elétrica do vácuo é . Usando coordenadas cilíndricas, calcule:
a) A densidade superficial de carga ligada e a densidade volumétrica de carga ligada .
Um cilindro dielétrico infinito de raio , localizado no vácuo, tem polarização dada por
onde é uma constante e é a distância radial até o eixo de simetria do cilindro. A permissividade elétrica do vácuo é . Usando coordenadas cilíndricas, calcule:
c) O vetor deslocamento elétrico nas regiões (i) e (ii) .
(Ques. 1 do Cap. 25 - Física 3 Young & Freedman - 12a Edição)
A definição de resistividade ) implica que existe um campo elétrico no interior de um condutor. Entretanto, vimos no Capítulo 21 que não pode haver nenhum campo elétrico no interior de um condutor. Há uma contradição aqui? Explique.
(Ques. 4 do Cap. 25 - Física 3 Young & Freedman - 12a Edição)
Dois fios de cobre com diâmetros diferentes são ligados pelas suas extremidades. Quando uma corrente elétrica flui através dessa combinação, o que ocorre com os elétrons quando eles se deslocam do fio com diâmetro maior para o fio com diâmetro menor? A velocidade de arraste dos elétrons aumenta, diminui ou permanece constante? Se a velocidade de arraste varia, qual e a força que produz essa variação? Explique seu raciocínio.