Um cilindro dielétrico infinito de raio , localizado no vácuo, tem polarização dada por
onde é uma constante e é a distância radial até o eixo de simetria do cilindro. A permissividade elétrica do vácuo é . Usando coordenadas cilíndricas, calcule:
a) A densidade superficial de carga ligada e a densidade volumétrica de carga ligada .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um cilindro dielétrico infinito com raio , colocado no vácuo. A polarização desse cilindro é dada por , onde é uma constante e é a distância radial até o eixo do cilindro. A pergunta quer que a gente calcule a densidade superficial de carga ligada () e a densidade volumétrica de carga ligada (). Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especialmente relacionados à polarização em materiais dielétricos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são essas densidades de carga ligada. Em materiais polarizados, existem cargas que não se movem livremente, chamadas de cargas ligadas. Essas cargas geram densidades de carga superficial () e volumétrica ().
Passo 3
A densidade superficial de carga ligada () é dada pelo produto da polarização () com o vetor normal à superfície (). Matematicamente:
No nosso caso, a superfície do cilindro tem um vetor normal radial, ou seja, .
Passo 4
Substituindo e na fórmula de :
Como estamos calculando na superfície do cilindro, :
Passo 5
Agora, vamos calcular a densidade volumétrica de carga ligada (). Essa densidade é relacionada à divergência da polarização:
Para calcular a divergência em coordenadas cilíndricas, usamos:
No nosso caso, só tem componente radial () e não depende de nem de , então:
Passo 6
Então, a densidade volumétrica de carga ligada é:
Resposta
A densidade superficial de carga ligada é e a densidade volumétrica de carga ligada é .