Um cilindro dielétrico infinito de raio
, localizado no vácuo, tem polarização dada por
onde
é uma constante e
é a distância radial até o eixo de simetria do cilindro. A permissividade elétrica do vácuo é
. Usando coordenadas cilíndricas, calcule:
a) A densidade superficial de carga ligada
e a densidade volumétrica de carga ligada
.
a) A densidade superficial de carga ligada
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um cilindro dielétrico infinito com raio
, colocado no vácuo. A polarização desse cilindro é dada por
, onde
é uma constante e
é a distância radial até o eixo do cilindro. A pergunta quer que a gente calcule a densidade superficial de carga ligada (
) e a densidade volumétrica de carga ligada (
). Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especialmente relacionados à polarização em materiais dielétricos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são essas densidades de carga ligada. Em materiais polarizados, existem cargas que não se movem livremente, chamadas de cargas ligadas. Essas cargas geram densidades de carga superficial (
) e volumétrica (
).
Passo 3
A densidade superficial de carga ligada (
) é dada pelo produto da polarização (
) com o vetor normal à superfície (
). Matematicamente:
No nosso caso, a superfície do cilindro tem um vetor normal radial, ou seja,
.
Passo 4
Substituindo
e
na fórmula de
:
Como estamos calculando na superfície do cilindro,
:
Passo 5
Agora, vamos calcular a densidade volumétrica de carga ligada (
). Essa densidade é relacionada à divergência da polarização:
Para calcular a divergência em coordenadas cilíndricas, usamos:
No nosso caso,
só tem componente radial (
) e não depende de
nem de
, então:
Passo 6
Então, a densidade volumétrica de carga ligada é:
Resposta
A densidade superficial de carga ligada é
e a densidade volumétrica de carga ligada é
.