Um cilindro dielétrico infinito de raio a, localizado no vácuo, tem polarização dada por
P=k r r
onde k é uma constante e r é a distância radial até o eixo de simetria do cilindro. A permissividade elétrica do vácuo é epsilon0. Usando coordenadas cilíndricas, calcule:
a) A densidade superficial de carga ligada sigmab e a densidade volumétrica de carga ligada rhob.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um cilindro dielétrico infinito com raio , colocado no vácuo. A polarização desse cilindro é dada por , onde é uma constante e é a distância radial até o eixo do cilindro. A pergunta quer que a gente calcule a densidade superficial de carga ligada ( ) e a densidade volumétrica de carga ligada ( ). Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especialmente relacionados à polarização em materiais dielétricos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são essas densidades de carga ligada. Em materiais polarizados, existem cargas que não se movem livremente, chamadas de cargas ligadas. Essas cargas geram densidades de carga superficial ( ) e volumétrica ( ).

Passo 3

A densidade superficial de carga ligada ( sigmab = P cdot n ) é dada pelo produto da polarização ( ) com o vetor normal à superfície ( ). Matematicamente:
No nosso caso, a superfície do cilindro tem um vetor normal radial, ou seja, .

Passo 4

Substituindo sigmab = (k r r) cdot r = k r (r cdot r) = k r times 1 = k r e sigmab = k a na fórmula de :
Como estamos calculando na superfície do cilindro, :

Passo 5

Agora, vamos calcular a densidade volumétrica de carga ligada ( rhob = -nabla cdot P ). Essa densidade é relacionada à divergência da polarização:
nabla cdot P = 1r partialpartial r(r Pr) + 1r partial Pphipartial phi + partial Pzpartial z
Para calcular a divergência em coordenadas cilíndricas, usamos:
nabla cdot P = 1r partialpartial r(r cdot k r) = 1r partialpartial r(k r^2) = 1r cdot 2 k r = 2 k
No nosso caso, só tem componente radial ( ) e não depende de nem de , então:

Passo 6

Então, a densidade volumétrica de carga ligada é:
rhob = -nabla cdot P = -2 k

Resposta

A densidade superficial de carga ligada é e a densidade volumétrica de carga ligada é .

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