Um cilindro dielétrico infinito de raio , localizado no vácuo, tem polarização dada por
onde é uma constante e é a distância radial até o eixo de simetria do cilindro. A permissividade elétrica do vácuo é . Usando coordenadas cilíndricas, calcule:
a) A densidade superficial de carga ligada e a densidade volumétrica de carga ligada .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um cilindro dielétrico infinito com raio , colocado no vácuo. A polarização desse cilindro é dada por , onde é uma constante e é a distância radial até o eixo do cilindro. A pergunta quer que a gente calcule a densidade superficial de carga ligada ( ) e a densidade volumétrica de carga ligada ( ). Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especialmente relacionados à polarização em materiais dielétricos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são essas densidades de carga ligada. Em materiais polarizados, existem cargas que não se movem livremente, chamadas de cargas ligadas. Essas cargas geram densidades de carga superficial ( ) e volumétrica ( ).

Passo 3

A densidade superficial de carga ligada ( ) é dada pelo produto da polarização ( ) com o vetor normal à superfície ( ). Matematicamente:
No nosso caso, a superfície do cilindro tem um vetor normal radial, ou seja, .

Passo 4

Substituindo e na fórmula de :
Como estamos calculando na superfície do cilindro, :

Passo 5

Agora, vamos calcular a densidade volumétrica de carga ligada ( ). Essa densidade é relacionada à divergência da polarização:
Para calcular a divergência em coordenadas cilíndricas, usamos:
No nosso caso, só tem componente radial ( ) e não depende de nem de , então:

Passo 6

Então, a densidade volumétrica de carga ligada é:

Resposta

A densidade superficial de carga ligada é e a densidade volumétrica de carga ligada é .

Exercícios relacionados

Um cilindro dielétrico infinito de raio , localizado no vácuo, tem polarização dada por
onde é uma constante e é a distância radial até o eixo de simetria do cilindro. A permissividade elétrica do vácuo é . Usando coordenadas cilíndricas, calcule:
c) O vetor deslocamento elétrico nas regiões (i) e (ii) .
Considere o disco de raio , que possui uma densidade superficial de cargas , onde é a distância até o centro do disco e é uma constante. Mostre que potencial devido ao disco no eixo .
Uma carga está uniformemente distribuída em um volume de uma esfera de raio com uma densidade volumétrica de cargas . sendo a distância ao centro da esfera e uma constante.
(a) Mostre que a constante .
(b) Mostre que:
© A partir de (b) Mostre que:
(Ques. 1 do Cap. 25 - Física 3 Young & Freedman - 12a Edição)
A definição de resistividade ) implica que existe um campo elétrico no interior de um condutor. Entretanto, vimos no Capítulo 21 que não pode haver nenhum campo elétrico no interior de um condutor. Há uma contradição aqui? Explique.