Um cilindro dielétrico infinito de raio , localizado no vácuo, tem polarização dada por
onde é uma constante e é a distância radial até o eixo de simetria do cilindro. A permissividade elétrica do vácuo é . Usando coordenadas cilíndricas, calcule:
c) O vetor deslocamento elétrico nas regiões (i) e (ii) .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um cilindro dielétrico infinito com raio , no vácuo, e a polarização é dada por , onde é uma constante e é a distância do eixo do cilindro. A gente precisa calcular o vetor deslocamento elétrico nas regiões onde e .
Para isso, vamos usar as coordenadas cilíndricas e lembrar que a relação entre , o campo elétrico e a polarização é:
Vamos seguir passo a passo para encontrar nas duas regiões.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar a região dentro do cilindro, onde .
Sabemos que a polarização . Como não há cargas livres no cilindro, a densidade de carga livre é zero. Portanto, podemos usar a relação de Gauss para o vetor deslocamento elétrico:
Em coordenadas cilíndricas, com simetria radial, o divergente de fica:
Integrando essa equação, temos:
Para que seja finito em , a constante deve ser zero. Então, dentro do cilindro:
Passo 3
Agora, vamos considerar a região fora do cilindro, onde .
Novamente, usamos a equação de Gauss:
Em coordenadas cilíndricas, isso se traduz em:
Integrando, obtemos:
Vamos chamar essa constante de . Então:
Para determinar , precisamos considerar a continuidade de na interface . De , , então para também deve ser zero para não haver descontinuidades. Assim, , o que nos dá:
Resposta
O vetor deslocamento elétrico é zero tanto para quanto para :