Um cilindro dielétrico infinito de raio
, localizado no vácuo, tem polarização dada por
onde
é uma constante e
é a distância radial até o eixo de simetria do cilindro. A permissividade elétrica do vácuo é
. Usando coordenadas cilíndricas, calcule:
c) O vetor deslocamento elétrico
nas regiões (i)
e (ii)
.
c) O vetor deslocamento elétrico
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um cilindro dielétrico infinito com raio
, no vácuo, e a polarização é dada por
, onde
é uma constante e
é a distância do eixo do cilindro. A gente precisa calcular o vetor deslocamento elétrico
nas regiões onde
e
.
Para isso, vamos usar as coordenadas cilíndricas e lembrar que a relação entre
, o campo elétrico
e a polarização
é:
Vamos seguir passo a passo para encontrar
nas duas regiões.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar a região dentro do cilindro, onde
.
Sabemos que a polarização
. Como não há cargas livres no cilindro, a densidade de carga livre
é zero. Portanto, podemos usar a relação de Gauss para o vetor deslocamento elétrico:
Em coordenadas cilíndricas, com simetria radial, o divergente de
fica:
Integrando essa equação, temos:
Para que
seja finito em
, a constante deve ser zero. Então, dentro do cilindro:
Passo 3
Agora, vamos considerar a região fora do cilindro, onde
.
Novamente, usamos a equação de Gauss:
Em coordenadas cilíndricas, isso se traduz em:
Integrando, obtemos:
Vamos chamar essa constante de
. Então:
Para determinar
, precisamos considerar a continuidade de
na interface
. De
,
, então
para
também deve ser zero para não haver descontinuidades. Assim,
, o que nos dá:
Resposta
O vetor deslocamento elétrico
é zero tanto para
quanto para
: