Um cilindro dielétrico infinito de raio a, localizado no vácuo, tem polarização dada por
P=k r r
onde k é uma constante e r é a distância radial até o eixo de simetria do cilindro. A permissividade elétrica do vácuo é epsilon0. Usando coordenadas cilíndricas, calcule:
c) O vetor deslocamento elétrico D nas regiões (i) r e (ii) r>a.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um cilindro dielétrico infinito com raio D = epsilon0 E + P , no vácuo, e a polarização é dada por , onde é uma constante e é a distância do eixo do cilindro. A gente precisa calcular o vetor deslocamento elétrico nas regiões onde e .
Para isso, vamos usar as coordenadas cilíndricas e lembrar que a relação entre , o campo elétrico e a polarização é:
Vamos seguir passo a passo para encontrar nas duas regiões.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a região dentro do cilindro, onde nabla cdot D = rhof = 0 .
Sabemos que a polarização 1r ddr(r Dr) = 0 . Como não há cargas livres no cilindro, a densidade de carga livre r Dr = constante é zero. Portanto, podemos usar a relação de Gauss para o vetor deslocamento elétrico:
Dr = 0 para r < a
Em coordenadas cilíndricas, com simetria radial, o divergente de fica:
Integrando essa equação, temos:
Para que seja finito em , a constante deve ser zero. Então, dentro do cilindro:

Passo 3

Agora, vamos considerar a região fora do cilindro, onde nabla cdot D = 0 .
Novamente, usamos a equação de Gauss:
1r ddr(r Dr) = 0
Em coordenadas cilíndricas, isso se traduz em:
r Dr = constante
Integrando, obtemos:
Dr = Cr
Vamos chamar essa constante de Dr = 0 para r > a . Então:
Para determinar , precisamos considerar a continuidade de na interface . De , , então para também deve ser zero para não haver descontinuidades. Assim, , o que nos dá:

Resposta

O vetor deslocamento elétrico D = 0 para todas as regiões é zero tanto para quanto para :
õ

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