Uma lâmina finita 0, sobre o plano z=0, tem uma densidade de carga dada por rhos=x y(x^2+y^2+25)^3 / 2 n C / m^2. Determine
c) A força experimentada por uma carga de -1 mC localizada em (0,0,5)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta uma lâmina finita no plano , com dimensões de e . A densidade de carga dessa lâmina é dada por . Precisamos descobrir qual é a força que uma carga de localizada no ponto experimenta. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a Lei de Coulomb e integração para somar as contribuições de todas as cargas na lâmina.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a força elétrica F = q E que uma carga experimenta devido a um campo elétrico é dada por:
Onde .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o campo elétrico no ponto devido à distribuição de carga na lâmina. Para isso, vamos considerar uma pequena área diferencial na lâmina, com uma carga diferencial .

Passo 4

A contribuição diferencial do campo elétrico dE = 14pivarepsilon0 dq , r|r|^3 no ponto devido a essa carga é dada por:
Onde:
  • é a permissividade do vácuo ( ),
  • é o vetor que vai da carga até o ponto ,
  • é a distância entre e o ponto.

Passo 5

No nosso caso, a posição da carga diferencial é r = lang<= -x, -y, 5 rang<= , então o vetor |r| = raizx^2 + y^2 + 25 até o ponto é:
E a distância é:

Passo 6

Substituindo dE = 14pivarepsilon0 x y (x^2 + y^2 + 25)^3 / 2 lang<= -x, -y, 5 rang<= (x^2 + y^2 + 25)^3/2 dx , dy na expressão para dE = 14pivarepsilon0 cdot x y cdot lang<= -x, -y, 5 rang<= cdot dx , dy :
Simplificando:

Passo 7

Agora, para encontrar o campo elétrico total E = 14pivarepsilon0 integral0^1 integral0^1 x y lang<= -x, -y, 5 rang<= , dx , dy , precisamos integrar sobre toda a lâmina:
Vamos calcular cada componente separadamente.

Passo 8

Vamos calcular as integrais para cada componente:
  • Componente Ex = 14pivarepsilon0 integral0^1 integral0^1 (-x^2 y) , dx , dy :
Ey = 14pivarepsilon0 integral0^1 integral0^1 (-x y^2) , dx , dy
  • Componente Ez = 14pivarepsilon0 integral0^1 integral0^1 5 x y , dx , dy :
  • Componente :

Passo 9

Calculando as integrais:
  • Para Ex = -14pivarepsilon0 integral0^1 ( integral0^1 x^2 y , dx ) dy = -14pivarepsilon0 integral0^1 ( x^33 |0^1 ) y , dy = -14pivarepsilon0 integral0^1 13 y , dy = -14pivarepsilon0 cdot 13 cdot 12 = -124pivarepsilon0 :
Ey = -14pivarepsilon0 integral0^1 ( integral0^1 x y^2 , dx ) dy = -14pivarepsilon0 integral0^1 ( x^22 |0^1 ) y^2 , dy = -14pivarepsilon0 integral0^1 12 y^2 , dy = -14pivarepsilon0 cdot 12 cdot 13 = -124pivarepsilon0
  • Para Ez = 54pivarepsilon0 integral0^1 integral0^1 x y , dx , dy = 54pivarepsilon0 ( integral0^1 x , dx ) ( integral0^1 y , dy ) = 54pivarepsilon0 cdot 12 cdot 12 = 516pivarepsilon0 :
  • Para :

Passo 10

Assim, o campo elétrico total no ponto E = lang<= -124pivarepsilon0, -124pivarepsilon0, 516pivarepsilon0 rang<= é:

Passo 11

Finalmente, para encontrar a força F = q E = -1 times 10^-3 cdot lang<= -124pivarepsilon0, -124pivarepsilon0, 516pivarepsilon0 rang<= = lang<= 1 times 10^-324pivarepsilon0, 1 times 10^-324pivarepsilon0, -5 times 10^-316pivarepsilon0 rang<= na carga :

Resposta

A força experimentada pela carga de F = lang<= 1 times 10^-324pivarepsilon0, 1 times 10^-324pivarepsilon0, -5 times 10^-316pivarepsilon0 rang<= , N localizada em é:

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