Uma lâmina finita , sobre o plano , tem uma densidade de carga dada por . Determine
c) A força experimentada por uma carga de -1 mC localizada em
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta uma lâmina finita no plano , com dimensões de e . A densidade de carga dessa lâmina é dada por . Precisamos descobrir qual é a força que uma carga de localizada no ponto experimenta. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a Lei de Coulomb e integração para somar as contribuições de todas as cargas na lâmina.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a força elétrica que uma carga experimenta devido a um campo elétrico é dada por:
Onde .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o campo elétrico no ponto devido à distribuição de carga na lâmina. Para isso, vamos considerar uma pequena área diferencial na lâmina, com uma carga diferencial .
Passo 4
A contribuição diferencial do campo elétrico no ponto devido a essa carga é dada por:
Onde:
é a permissividade do vácuo (),
é o vetor que vai da carga até o ponto ,
é a distância entre e o ponto.
Passo 5
No nosso caso, a posição da carga diferencial é , então o vetor até o ponto é:
E a distância é:
Passo 6
Substituindo na expressão para :
Simplificando:
Passo 7
Agora, para encontrar o campo elétrico total , precisamos integrar sobre toda a lâmina:
Vamos calcular cada componente separadamente.
Passo 8
Vamos calcular as integrais para cada componente:
Componente :
Componente :
Componente :
Passo 9
Calculando as integrais:
Para :
Para Ez = 54pivarepsilon0 integral0^1 integral0^1 x y , dx , dy = 54pivarepsilon0 ( integral0^1 x , dx ) ( integral0^1 y , dy ) = 54pivarepsilon0 cdot 12 cdot 12 = 516pivarepsilon0 :
Para :
Passo 10
Assim, o campo elétrico total no ponto E = lang<= -124pivarepsilon0, -124pivarepsilon0, 516pivarepsilon0 rang<= é:
Passo 11
Finalmente, para encontrar a força F = q E = -1 times 10^-3 cdot lang<= -124pivarepsilon0, -124pivarepsilon0, 516pivarepsilon0 rang<= = lang<= 1 times 10^-324pivarepsilon0, 1 times 10^-324pivarepsilon0, -5 times 10^-316pivarepsilon0 rang<= na carga :
Resposta
A força experimentada pela carga de F = lang<= 1 times 10^-324pivarepsilon0, 1 times 10^-324pivarepsilon0, -5 times 10^-316pivarepsilon0 rang<= , N localizada em é: