Um cargueiro cobra para levar certo produto de Sergipe para Alagoas
de taxa mais
da taxa por hora se for de dia e
se for a noite. Se o cargueiro partiu às 16:00 e chegou em Alagoas às 21:00, e sabendo que às 18:00 anoitece,
a) modele este problema.
b) Faça um gráfico do tempo versus custo.
a) modele este problema.
b) Faça um gráfico do tempo versus custo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um cargueiro que cobra uma taxa fixa de R$ 500,00 mais um percentual dessa taxa por hora, que varia dependendo se é de dia ou de noite. Precisamos modelar esse problema (parte a) e fazer um gráfico que mostre a relação entre o tempo e o custo (parte b). Para resolver, vamos precisar entender como calcular o custo total com base no tempo de viagem e saber quando ocorre a mudança de dia para noite.
Passo 2
Primeiro, vamos modelar o problema. Vamos definir algumas variáveis:
-
: Custo total da viagem. -
: Tempo total da viagem em horas. -
: Tempo de viagem durante o dia. -
: Tempo de viagem durante a noite.
Sabemos que a taxa fixa é de R$ 500,00. Além disso, durante o dia, o custo por hora é 10% da taxa fixa, e durante a noite, é 20% da taxa fixa.
Passo 3
Vamos calcular os custos por hora:
- Custo por hora de dia:
por hora. - Custo por hora de noite:
por hora.
Agora, precisamos determinar quanto tempo o cargueiro fica de dia e quanto fica de noite durante a viagem.
Passo 4
O cargueiro partiu às 16:00 e chegou às 21:00, totalizando 5 horas de viagem. Sabemos que às 18:00 anoitece. Então:
- Tempo de dia (
): das 16:00 às 18:00 → 2 horas. - Tempo de noite (
): das 18:00 às 21:00 → 3 horas.
Passo 5
Agora, vamos calcular o custo total:
Substituindo os valores:
Portanto, o custo total da viagem é de R$ 900,00.
Passo 6
Agora, para a parte b), vamos fazer um gráfico que relaciona o tempo de viagem (
) com o custo total (
). Vamos considerar que a mudança de dia para noite ocorre às 18:00.
Primeiro, precisamos expressar
em função de
. Se a viagem começar antes das 18:00, parte do tempo será de dia e parte de noite. Se começar às 16:00 e terminar às 21:00, como no exemplo, temos 2 horas de dia e 3 horas de noite.
Podemos generalizar:
- Se
horas (até as 18:00), todo o tempo é de dia. - Se
horas, as primeiras 2 horas são de dia e o restante é de noite.
Então:
Para plotar o gráfico, no eixo horizontal colocamos o tempo
(em horas) e no eixo vertical o custo total
. A função terá uma inclinação menor (R$ 50 por hora) até 2 horas e, após isso, a inclinação aumenta para R$ 100 por hora.
Resposta
a) O modelo do problema fica:
b) O gráfico do tempo versus custo apresenta duas regiões de inclinação diferentes:
- De 0 a 2 horas: cada hora adiciona R$ 50 ao custo.
- Acima de 2 horas: cada hora adiciona R$ 100 ao custo.
Assim, o gráfico tem uma parte linear com inclinação menor até 2 horas e outra parte linear com inclinação maior após esse ponto.