Um cargueiro cobra para levar certo produto de Sergipe para Alagoas R de taxa mais de taxa mais da taxa por hora se for de dia e da taxa por hora se for de dia e se for a noite. Se o cargueiro partiu às 16:00 e chegou em Alagoas às 21:00, e sabendo que às 18:00 anoitece,
a) modele este problema.
b) Faça um gráfico do tempo versus custo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um cargueiro que cobra uma taxa fixa de R$ 500,00 mais um percentual dessa taxa por hora, que varia dependendo se é de dia ou de noite. Precisamos modelar esse problema (parte a) e fazer um gráfico que mostre a relação entre o tempo e o custo (parte b). Para resolver, vamos precisar entender como calcular o custo total com base no tempo de viagem e saber quando ocorre a mudança de dia para noite.

Passo 2

Primeiro, vamos modelar o problema. Vamos definir algumas variáveis:
  • : Custo total da viagem.
  • : Tempo total da viagem em horas.
  • : Tempo de viagem durante o dia.
  • : Tempo de viagem durante a noite.
Sabemos que a taxa fixa é de R$ 500,00. Além disso, durante o dia, o custo por hora é 10% da taxa fixa, e durante a noite, é 20% da taxa fixa.

Passo 3

Vamos calcular os custos por hora:
  • Custo por hora de dia: por hora.
  • Custo por hora de noite: por hora.
Agora, precisamos determinar quanto tempo o cargueiro fica de dia e quanto fica de noite durante a viagem.

Passo 4

O cargueiro partiu às 16:00 e chegou às 21:00, totalizando 5 horas de viagem. Sabemos que às 18:00 anoitece. Então:
  • Tempo de dia ( ): das 16:00 às 18:00 → 2 horas.
  • Tempo de noite ( ): das 18:00 às 21:00 → 3 horas.

Passo 5

Agora, vamos calcular o custo total:
Substituindo os valores:
Portanto, o custo total da viagem é de R$ 900,00.

Passo 6

Agora, para a parte b), vamos fazer um gráfico que relaciona o tempo de viagem ( ) com o custo total ( ). Vamos considerar que a mudança de dia para noite ocorre às 18:00.
Primeiro, precisamos expressar em função de . Se a viagem começar antes das 18:00, parte do tempo será de dia e parte de noite. Se começar às 16:00 e terminar às 21:00, como no exemplo, temos 2 horas de dia e 3 horas de noite.
Podemos generalizar:
  • Se horas (até as 18:00), todo o tempo é de dia.
  • Se horas, as primeiras 2 horas são de dia e o restante é de noite.
Então:
Para plotar o gráfico, no eixo horizontal colocamos o tempo (em horas) e no eixo vertical o custo total . A função terá uma inclinação menor (R$ 50 por hora) até 2 horas e, após isso, a inclinação aumenta para R$ 100 por hora.

Resposta

a) O modelo do problema fica:
b) O gráfico do tempo versus custo apresenta duas regiões de inclinação diferentes:
  • De 0 a 2 horas: cada hora adiciona R$ 50 ao custo.
  • Acima de 2 horas: cada hora adiciona R$ 100 ao custo.
    Assim, o gráfico tem uma parte linear com inclinação menor até 2 horas e outra parte linear com inclinação maior após esse ponto.

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