Considere o sólido obtido com a rotação da região limitada pelas curvas y = x^2 e x = y^2 em torno da reta x = -1.
[1,5] Escolha um dos métodos acima para calcular o volume do sólido.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o volume de um sólido que é formado ao girar a região limitada pelas curvas e ao redor da reta . Aqui, estamos lidando com cálculo de volumes por rotação, e vamos precisar usar o método dos “discos” ou dos “cilindros” (também conhecido como método das cascas cilíndricas) para resolver.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender onde as curvas e se intersectam. Isso nos dará os limites de integração.
Vamos igualar as duas equações:
Substituindo da primeira equação na segunda:
Rearranjando:
Isso nos dá as soluções e . Portanto, os pontos de interseção são e .

Passo 3

Agora, vamos escolher o método para calcular o volume. Vou optar pelo método dos discos, que é eficiente quando a rotação é em torno de um eixo vertical ou horizontal e a função pode ser facilmente expressa como em função de ou vice-versa.
Teoria do Método dos Discos:
Quando giramos uma região em torno de um eixo, o volume do sólido gerado pode ser calculado como a integral da área dos discos infinitesimais formados pelo giro. A fórmula geral é:
Onde:
  • é a distância do eixo de rotação até a curva externa.
  • é a distância do eixo de rotação até a curva interna.

Passo 4

Primeiro, identificamos qual curva está mais distante do eixo de rotação .
Para :
A distância até é .
Para :
Precisamos expressar em função de . Da equação , temos . A distância até é .
Entretanto, como estamos rotacionando em torno de e as funções estão em termos de , pode ser mais conveniente usar o método das cascas cilíndricas. Vamos optar por isso para simplificar.
Teoria do Método das Cascas Cilíndricas:
O volume é calculado integrando as circunferências das cascas formadas pela rota��ão. A fórmula é:
â
Aplicando isso:
A distância ao eixo é .
Para , temos .
A altura da casca é a diferença entre as funções que dão em termos de : .
Então:
Desenvolvendo a integral:
Calculando a integral:
Substituindo os limites:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados