Considere o sólido obtido com a rotação da região limitada pelas curvas
e
em torno da reta
.
Escolha um dos métodos acima para calcular o volume do sólido.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o volume de um sólido que é formado ao girar a região limitada pelas curvas
e
ao redor da reta
. Aqui, estamos lidando com cálculo de volumes por rotação, e vamos precisar usar o método dos “discos” ou dos “cilindros” (também conhecido como método das cascas cilíndricas) para resolver.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender onde as curvas
e
se intersectam. Isso nos dará os limites de integração.
Vamos igualar as duas equações:
Substituindo
da primeira equação na segunda:
Rearranjando:
Isso nos dá as soluções
e
. Portanto, os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
Agora, vamos escolher o método para calcular o volume. Vou optar pelo método dos discos, que é eficiente quando a rotação é em torno de um eixo vertical ou horizontal e a função pode ser facilmente expressa como
em função de
ou vice-versa.
Teoria do Método dos Discos:
Quando giramos uma região em torno de um eixo, o volume do sólido gerado pode ser calculado como a integral da área dos discos infinitesimais formados pelo giro. A fórmula geral é:
Onde:
-
é a distância do eixo de rotação até a curva externa. -
é a distância do eixo de rotação até a curva interna.
Passo 4
Primeiro, identificamos qual curva está mais distante do eixo de rotação
.
Para
:
A distância até é
.
A distância até
Para
:
Precisamos expressar em função de
. Da equação
, temos
. A distância até
é
.
Precisamos expressar
Entretanto, como estamos rotacionando em torno de
e as funções estão em termos de
, pode ser mais conveniente usar o método das cascas cilíndricas. Vamos optar por isso para simplificar.
Teoria do Método das Cascas Cilíndricas:
O volume é calculado integrando as circunferências das cascas formadas pela rota��ão. A fórmula é:
Aplicando isso:
A distância ao eixo
é
.
Para
, temos
.
A altura da casca é a diferença entre as funções que dão
em termos de
:
.
Então:
Desenvolvendo a integral:
Calculando a integral:
Substituindo os limites:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.