(PROFMAT MA11AV3 2011).Considere a função
, definida por
.
(a) Defina função crescente e prove que f é crescente.
(b) Defina função ilimitada e prove que f é ilimitada.
(a) Defina função crescente e prove que f é crescente.
(b) Defina função ilimitada e prove que f é ilimitada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma função
, definida para
a partir de 1 até o infinito. A gente precisa resolver duas partes aqui:
- Parte (a): Definir o que é uma função crescente e mostrar que
é crescente. - Parte (b): Definir o que é uma função ilimitada e mostrar que
é ilimitada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função crescente. Uma função é crescente em um intervalo se, quando o valor de
aumenta, o valor de
também aumenta. Matematicamente, isso quer dizer que se
, então
.
Passo 3
Para provar que
é crescente, vamos usar o conceito de derivada. A derivada de uma função nos mostra a taxa de variação dela. Se a derivada for positiva em todo o intervalo, a função é crescente.
Vamos calcular a derivada de
:
Passo 4
Agora, precisamos mostrar que
para todo
.
Vamos analisar a expressão da derivada:
Para
:
-
é positivo. -
também é positivo porque e cresce conforme aumenta.
Portanto,
para todo
.
Passo 5
Como a derivada
é sempre não negativa para
, isso confirma que
é uma função crescente nesse intervalo.
Passo 6
Agora, vamos para a função ilimitada. Uma função é ilimitada se não há nenhum número que limite seus valores. Ou seja, para qualquer grandeza que você escolher, sempre existe um valor de
tal que
é maior que essa grandeza.
Passo 7
Vamos analisar o comportamento de
quando
tende ao infinito.
Observando os termos,
cresce muito mais rápido que
quando
aumenta. Então, conforme
fica cada vez maior,
domina e
também tende ao infinito:
Passo 8
Como
cresce sem limites à medida que
aumenta, podemos concluir que
é uma função ilimitada.
Resposta
(a) A função
é crescente para todo
.
(b) A função é ilimitada.
(b) A função