(PROFMAT MA11AV3 2011).Considere a função f: [1, +∞) -> R, definida por f(x) = x^3 - x^2.
(a) Defina função crescente e prove que f é crescente.
(b) Defina função ilimitada e prove que f é ilimitada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma função , definida para a partir de 1 até o infinito. A gente precisa resolver duas partes aqui:
  • Parte (a): Definir o que é uma função crescente e mostrar que é crescente.
  • Parte (b): Definir o que é uma função ilimitada e mostrar que é ilimitada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função crescente. Uma função é crescente em um intervalo se, quando o valor de aumenta, o valor de também aumenta. Matematicamente, isso quer dizer que se , então .

Passo 3

Para provar que é crescente, vamos usar o conceito de derivada. A derivada de uma função nos mostra a taxa de variação dela. Se a derivada for positiva em todo o intervalo, a função é crescente.
Vamos calcular a derivada de :

Passo 4

Agora, precisamos mostrar que para todo .
Vamos analisar a expressão da derivada:
Para :
  • é positivo.
  • também é positivo porque e cresce conforme aumenta.
Portanto, para todo .

Passo 5

Como a derivada é sempre não negativa para , isso confirma que é uma função crescente nesse intervalo.

Passo 6

Agora, vamos para a função ilimitada. Uma função é ilimitada se não há nenhum número que limite seus valores. Ou seja, para qualquer grandeza que você escolher, sempre existe um valor de tal que é maior que essa grandeza.

Passo 7

Vamos analisar o comportamento de quando tende ao infinito.
Observando os termos, cresce muito mais rápido que quando aumenta. Então, conforme fica cada vez maior, domina e também tende ao infinito:

Passo 8

Como cresce sem limites à medida que aumenta, podemos concluir que é uma função ilimitada.

Resposta

(a) A função é crescente para todo .
(b) A função é ilimitada.

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