O raio r e a altura
de um cilindro circular reto aumentam à razăo de
, respectivamente.
Ache a taxa de variação do volume quando
.
Ache a taxa de variação do volume quando
Passo 1
Vamos lá! A gente tem um cilindro cujo raio
e altura
estão aumentando com o tempo. O raio está crescendo a uma taxa de
e a altura a
. Nosso objetivo é descobrir quão rápido o volume desse cilindro está aumentando quando
e
. Para isso, vamos precisar usar algumas fórmulas de cálculo relacionadas a taxas de variação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do volume
de um cilindro. É bem simples:
Onde:
-
é uma constante (aproximadamente 3,14), -
é o raio, -
é a altura.
Passo 3
Agora, queremos saber como o volume
está mudando com o tempo, ou seja, queremos encontrar a derivada
. Para isso, vamos derivar a fórmula do volume em relação ao tempo
. Usando a regra do produto e a regra da cadeia, temos:
Isso significa que a taxa de variação do volume depende de como o raio
e a altura
estão aumentando.
Passo 4
Agora, vamos substituir os valores que foram dados:
-
, -
, -
, -
.
Substituindo na f��rmula:
Resposta
A taxa de variação do volume do cilindro quando
e
é aproximadamente
.