O raio r e a altura h de um cilindro circular reto aumentam à razăo de 0,01 cm/min e 0,02 cm/min, respectivamente.
Ache a taxa de variação do volume quando r = 4 cm e h = 7 cm.

Passo 1

Vamos lá! A gente tem um cilindro cujo raio e altura estão aumentando com o tempo. O raio está crescendo a uma taxa de e a altura a . Nosso objetivo é descobrir quão rápido o volume desse cilindro está aumentando quando e . Para isso, vamos precisar usar algumas fórmulas de cálculo relacionadas a taxas de variação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do volume de um cilindro. É bem simples:
Onde:
  • é uma constante (aproximadamente 3,14),
  • é o raio,
  • é a altura.

Passo 3

Agora, queremos saber como o volume está mudando com o tempo, ou seja, queremos encontrar a derivada . Para isso, vamos derivar a fórmula do volume em relação ao tempo . Usando a regra do produto e a regra da cadeia, temos:
Isso significa que a taxa de variação do volume depende de como o raio e a altura estão aumentando.

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores que foram dados:
  • ,
  • ,
  • ,
  • .
Substituindo na f��rmula:

Resposta

A taxa de variação do volume do cilindro quando e é aproximadamente .

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