Determine a massa total de:
Uma casca esférica de raio
tem densidade superficial de massa dada por
, onde
cte.
Uma casca esférica de raio
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir a massa total de uma casca esférica que tem um raio de
e uma densidade superficial que varia com o ângulo
. O conteúdo que vamos usar aqui envolve cálculo integral, especificamente integrando a densidade sobre a superfície da esfera. Vamos precisar entender como configurar essa integral e resolver passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a massa total (
) de uma casca esférica pode ser encontrada integrando a densidade superficial (
) sobre toda a área da esfera. A fórmula é:
Aqui,
é um elemento de área na superfície da esfera.
Passo 3
Para uma esfera, o elemento de área (
) em coordenadas esféricas é dado por:
Onde:
-
é o raio da esfera. -
é o ângulo polar que varia de a . -
é o ângulo azimutal que varia de a .
Passo 4
A densidade superficial fornecida é:
Onde
.
Vamos substituir
e
na integral da massa:
Passo 5
Agora, podemos separar a integral em duas partes, já que
e
são constantes:
Primeiro, vamos resolver a integral em
:
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral em
:
Fazendo uma substituição
, temos
. Assim, os limites de integração mudam de
para
e
para
:
Passo 7
Agora, juntando tudo:
Passo 8
Substituindo os valores dados (
e
):
Resposta
A massa total da casca esférica é aproximadamente
.