Determine a massa total de:
Uma casca esférica de raio tem densidade superficial de massa dada por , onde cte.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir a massa total de uma casca esférica que tem um raio de e uma densidade superficial que varia com o ângulo . O conteúdo que vamos usar aqui envolve cálculo integral, especificamente integrando a densidade sobre a superfície da esfera. Vamos precisar entender como configurar essa integral e resolver passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a massa total ( ) de uma casca esférica pode ser encontrada integrando a densidade superficial ( ) sobre toda a área da esfera. A fórmula é:
Aqui, é um elemento de área na superfície da esfera.

Passo 3

Para uma esfera, o elemento de área ( ) em coordenadas esféricas é dado por:
Onde:
  • é o raio da esfera.
  • é o ângulo polar que varia de a .
  • é o ângulo azimutal que varia de a .

Passo 4

A densidade superficial fornecida é:
Onde .
Vamos substituir e na integral da massa:

Passo 5

Agora, podemos separar a integral em duas partes, já que e são constantes:
Primeiro, vamos resolver a integral em :

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral em :
Fazendo uma substituição , temos . Assim, os limites de integração mudam de para e para :

Passo 7

Agora, juntando tudo:

Passo 8

Substituindo os valores dados ( e ):

Resposta

A massa total da casca esférica é aproximadamente .

Exercícios relacionados

(Média) Uma das extremidades de uma barra longa, isolada na superfície lateral para impedir a perda de calor para o ambiente, está em contato térmico perfeito com água em ebulição (na pressão atmosférica), e a outra extremidade está em contato com uma mistura de água e gelo (Figura 1). A barra é composta por uma seção de de cobre (com uma extremidade no vapor d
(a) Qual é a quantidade de calor por segundo que flui do lado em contato com o vapor para a extremidade imersa na mistura de água e gelo?
(b) Qual é o comprimento da seção de aço?
Figure 1: Esquema de condução aço/cobre.
Um carpinteiro constrói a parede externa de uma casa usando uma camada de madeira com de espessura e uma camada de isopor com espessura de na superfície interna da parede. A madeira possui e o isopor possui . A temperatura da superfície interna da parede é igual a e a temperatura da superfície externa é igual a . Qual é a temperatura na superfície da junção entre a madeira e o isopor?
Determine o divergente dos seguintes campos vetoriais:
.
Encontre a sustentação (força devido à diferença de pressão) em uma asa de avião com área de se a velocidade do ar nas partes superior e inferior é e , respectivamente. Suponha que . (1,5)