Determine a massa total de:
Uma casca esférica de raio R=2,0 m tem densidade superficial de massa dada por sigma=sigma0 cos ^2 theta, onde sigma0= cte. =0,50 kg / m^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir a massa total de uma casca esférica que tem um raio de e uma densidade superficial que varia com o ângulo . O conteúdo que vamos usar aqui envolve cálculo integral, especificamente integrando a densidade sobre a superfície da esfera. Vamos precisar entender como configurar essa integral e resolver passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a massa total ( M = integral dupla sigma , dA ) de uma casca esférica pode ser encontrada integrando a densidade superficial ( ) sobre toda a área da esfera. A fórmula é:
Aqui, é um elemento de área na superfície da esfera.

Passo 3

Para uma esfera, o elemento de área ( dA = R^2 sintheta , dtheta , dphi ) em coordenadas esféricas é dado por:
Onde:
  • é o raio da esfera.
  • é o ângulo polar que varia de a .
  • é o ângulo azimutal que varia de a .

Passo 4

A densidade superficial fornecida é:
sigma = sigma0 cos^2theta
Onde M = integral dupla sigma0 cos^2theta cdot R^2 sintheta , dtheta , dphi .
Vamos substituir e na integral da massa:

Passo 5

Agora, podemos separar a integral em duas partes, já que M = sigma0 R^2 integral0^2pi dphi integral0^pi cos^2theta sintheta , dtheta e integral0^2pi dphi = 2pi são constantes:
Primeiro, vamos resolver a integral em :

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral em integral0^pi cos^2theta sintheta , dtheta :
integral1^-1 u^2 (-du) = integral-1^1 u^2 du = [ u^33 ]-1^1 = 13 - ( -13 ) = 23
Fazendo uma substituição , temos . Assim, os limites de integração mudam de para e para :

Passo 7

Agora, juntando tudo:
M = sigma0 R^2 cdot 2pi cdot 23 = 43 pi R^2 sigma0

Passo 8

Substituindo os valores dados ( M = 43 pi (2,0)^2 cdot 0,50 = 43 pi cdot 4 cdot 0,50 = 43 pi cdot 2 = 83 pi approx 8,38 , kg e ):

Resposta

A massa total da casca esférica é aproximadamente .

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