O carretel, visto de lado na figura ao lado, é uniforme, tem massa
e momento de inércia
em relação ao eixo que passa por seu centro de massa (perpendicular ao papel, na figura). O eixo e as rodas do carretel possuem raios
e
, respectivamente
. O carretel rola pela rampa de inclinação
, sobre seu eixo de raio
, partindo do repouso e de forma que não há deslizamento entre seu eixo e a superfície da rampa. Até o momento em que as rodas tocam o piso, seu centro de massa desce uma altura
. Calcule a aceleração angular do carretel ao descer a rampa.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um carretel que está rolando por uma rampa inclinada sem deslizar. Nosso objetivo é encontrar a aceleração angular desse carretel enquanto ele desce. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de dinâmica rotacional, como força, torque, momento de inércia e a relação entre aceleração linear e angular.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças atuando no carretel. Há a força da gravidade puxando o carretel para baixo pela rampa, que pode ser decomposta em duas direções: paralela e perpendicular à rampa. A parte paralela é
, que faz o carretel descer. Também temos a força de atrito estático
, que impede o deslize e atua na direção oposta ao movimento.
Passo 3
Como o carretel está rolando sem deslizar, existe uma relação entre a aceleração linear
do centro de massa e a aceleração angular
em torno do eixo:
. Isso porque o ponto de contato com a rampa está em repouso instantaneamente.
Passo 4
Aplicando a segunda lei de Newton na direção paralela à rampa, temos:
Aqui,
é a força resultante que causa a aceleração do centro de massa do carretel.
Passo 5
Agora, vamos considerar o torque causado pela força de atrito
em relação ao centro de massa. O torque é dado por:
E pela definição de momento de inércia, temos:
Substituindo
na equação:
Passo 6
Lembrando da relação
, podemos substituir
na equação do torque:
Simplificando:
Passo 7
Voltando à equação da segunda lei de Newton:
Vamos isolar
:
Passo 8
Agora, substituímos
na relação
para encontrar a aceleração angular
:
Simplificando a expressão:
Resposta
A aceleração angular do carretel ao descer a rampa é:
Exercícios relacionados
Em um parque de diversões, há um pequeno carrossel de raio
e massa
. O carrossel consiste, na verdade, de um cilindro, que pode girar em torno de seu eixo vertical. Uma criança de massa
corre com velocidade
em direção a um ponto do carrossel, sendo que a projeção da linha que dá a direção de seu movimento passa a uma distância
do eixo do carrossel. A criança pula sobre o carrossel quando este está parado e se agarra a ele, ficando em sua borda. Contando a partir do instante em que a criança atinge o carrossel, o sistema pára de girar após um intervalo de tempo
. Considerando constante o torque do atrito no eixo do carrossel, determine a aceleração angular do sistema.
Uma hélice construída com quatro tábuas idênticas, de modo a formar quatro ângulos retos (ver figura), gira sem atrito com velocidade
torno de um eixo preso ao seu centro. O momento de inércia do sistema em relação a esse eixo é
e o raio da hélice é
. Um menino atira no topo de uma das tábuas uma geléia de massa
que atinge a tábua perpendicularmente com uma velocidade
e fica grudada nela. Qual a variação da velocidade angular da hélice?
Um ioiô tem massa
e momento de inércia
. O carretel em que se enrola o fio tem raio
. Determine a velocidade do ioiô, solto do repouso, após descer uma altura
utilizando considerações de energia.
A figura ao lado mostra um ioiô de massa
, raio
e momento de inércia
em relação a seu eixo. O ioiô está apoiado sobre uma superfície plana na qual existe atrito. Ele é puxado por uma força
horizontal constante, por meio de um fio enrolado em torno de seu eixo de raio
, sem que haja escorregamento entre o ioiô e a superfície. Faça o diagramas das forças que atuam no ioiô.