O carretel, visto de lado na figura ao lado, é uniforme, tem massa e momento de inércia em relação ao eixo que passa por seu centro de massa (perpendicular ao papel, na figura). O eixo e as rodas do carretel possuem raios e , respectivamente . O carretel rola pela rampa de inclinação , sobre seu eixo de raio , partindo do repouso e de forma que não há deslizamento entre seu eixo e a superfície da rampa. Até o momento em que as rodas tocam o piso, seu centro de massa desce uma altura . Calcule a aceleração angular do carretel ao descer a rampa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um carretel que está rolando por uma rampa inclinada sem deslizar. Nosso objetivo é encontrar a aceleração angular desse carretel enquanto ele desce. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de dinâmica rotacional, como força, torque, momento de inércia e a relação entre aceleração linear e angular.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças atuando no carretel. Há a força da gravidade puxando o carretel para baixo pela rampa, que pode ser decomposta em duas direções: paralela e perpendicular à rampa. A parte paralela é , que faz o carretel descer. Também temos a força de atrito estático , que impede o deslize e atua na direção oposta ao movimento.

Passo 3

Como o carretel está rolando sem deslizar, existe uma relação entre a aceleração linear do centro de massa e a aceleração angular em torno do eixo: . Isso porque o ponto de contato com a rampa está em repouso instantaneamente.

Passo 4

Aplicando a segunda lei de Newton na direção paralela à rampa, temos:
Aqui, é a força resultante que causa a aceleração do centro de massa do carretel.

Passo 5

Agora, vamos considerar o torque causado pela força de atrito em relação ao centro de massa. O torque é dado por:
E pela definição de momento de inércia, temos:
Substituindo na equação:

Passo 6

Lembrando da relação , podemos substituir na equação do torque:
Simplificando:

Passo 7

Voltando à equação da segunda lei de Newton:
Vamos isolar :

Passo 8

Agora, substituímos na relação para encontrar a aceleração angular :
Simplificando a expressão:

Resposta

A aceleração angular do carretel ao descer a rampa é:

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