O carretel, visto de lado na figura ao lado, é uniforme, tem massa m e momento de inércia I em relação ao eixo que passa por seu centro de massa (perpendicular ao papel, na figura). O eixo e as rodas do carretel possuem raios r e R, respectivamente (r. O carretel rola pela rampa de inclinação theta, sobre seu eixo de raio r, partindo do repouso e de forma que não há deslizamento entre seu eixo e a superfície da rampa. Até o momento em que as rodas tocam o piso, seu centro de massa desce uma altura h. Calcule a aceleração angular do carretel ao descer a rampa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um carretel que está rolando por uma rampa inclinada sem deslizar. Nosso objetivo é encontrar a aceleração angular desse carretel enquanto ele desce. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de dinâmica rotacional, como força, torque, momento de inércia e a relação entre aceleração linear e angular.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças atuando no carretel. Há a força da gravidade puxando o carretel para baixo pela rampa, que pode ser decomposta em duas direções: paralela e perpendicular à rampa. A parte paralela é mg sintheta, que faz o carretel descer. Também temos a força de atrito estático f, que impede o deslize e atua na direção oposta ao movimento.

Passo 3

Como o carretel está rolando sem deslizar, existe uma relação entre a aceleração linear a do centro de massa e a aceleração angular alpha em torno do eixo: a = r alpha. Isso porque o ponto de contato com a rampa está em repouso instantaneamente.

Passo 4

Aplicando a segunda lei de Newton na direção paralela à rampa, temos:
m a = m g sintheta - f
Aqui, m a é a força resultante que causa a aceleração do centro de massa do carretel.

Passo 5

Agora, vamos considerar o torque causado pela força de atrito f em relação ao centro de massa. O torque é dado por:
tau = f r
E pela definição de momento de inércia, temos:
tau = I alpha
Substituindo tau na equação:
f r = I alpha

Passo 6

Lembrando da relação a = r alpha, podemos substituir alpha na equação do torque:
f r = I ar
Simplificando:
f = I ar^2

Passo 7

Voltando à equação da segunda lei de Newton:
m a = m g sintheta - I ar^2
Vamos isolar a:
m a + I ar^2 = m g sintheta
a ( m + Ir^2 ) = m g sintheta
a = m g sinthetam + Ir^2

Passo 8

Agora, substituímos a na relação a = r alpha para encontrar a aceleração angular alpha:
r alpha = m g sinthetam + Ir^2
alpha = m g sinthetar ( m + Ir^2 )
Simplificando a expressão:
alpha = m g r sinthetaI + m r^2

Resposta

A aceleração angular do carretel ao descer a rampa é:
alpha = m g r sinthetaI + m r^2

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