O carretel, visto de lado na figura ao lado, é uniforme, tem massa
e momento de inércia
em relação ao eixo que passa por seu centro de massa (perpendicular ao papel, na figura). O eixo e as rodas do carretel possuem raios
e
, respectivamente
. O carretel rola pela rampa de inclinação
, sobre seu eixo de raio
, partindo do repouso e de forma que não há deslizamento entre seu eixo e a superfície da rampa. Até o momento em que as rodas tocam o piso, seu centro de massa desce uma altura
. Calcule a aceleração angular do carretel ao descer a rampa.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um carretel que está rolando por uma rampa inclinada sem deslizar. Nosso objetivo é encontrar a aceleração angular desse carretel enquanto ele desce. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de dinâmica rotacional, como força, torque, momento de inércia e a relação entre aceleração linear e angular.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças atuando no carretel. Há a força da gravidade puxando o carretel para baixo pela rampa, que pode ser decomposta em duas direções: paralela e perpendicular à rampa. A parte paralela é
, que faz o carretel descer. Também temos a força de atrito estático
, que impede o deslize e atua na direção oposta ao movimento.
Passo 3
Como o carretel está rolando sem deslizar, existe uma relação entre a aceleração linear
do centro de massa e a aceleração angular
em torno do eixo:
. Isso porque o ponto de contato com a rampa está em repouso instantaneamente.
Passo 4
Aplicando a segunda lei de Newton na direção paralela à rampa, temos:
Aqui,
é a força resultante que causa a aceleração do centro de massa do carretel.
Passo 5
Agora, vamos considerar o torque causado pela força de atrito
em relação ao centro de massa. O torque é dado por:
E pela definição de momento de inércia, temos:
Substituindo
na equação:
Passo 6
Lembrando da relação
, podemos substituir
na equação do torque:
Simplificando:
Passo 7
Voltando à equação da segunda lei de Newton:
Vamos isolar
:
Passo 8
Agora, substituímos
na relação
para encontrar a aceleração angular
:
Simplificando a expressão:
Resposta
A aceleração angular do carretel ao descer a rampa é: