Em um parque de diversões, há um pequeno carrossel de raio e massa . O carrossel consiste, na verdade, de um cilindro, que pode girar em torno de seu eixo vertical. Uma criança de massa corre com velocidade em direção a um ponto do carrossel, sendo que a projeção da linha que dá a direção de seu movimento passa a uma distância do eixo do carrossel. A criança pula sobre o carrossel quando este está parado e se agarra a ele, ficando em sua borda. Contando a partir do instante em que a criança atinge o carrossel, o sistema pára de girar após um intervalo de tempo . Considerando constante o torque do atrito no eixo do carrossel, determine a aceleração angular do sistema.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que está rolando no problema. Temos um carrossel (que é como um grande cilindro giratório) com raio e massa . Uma criança com massa está correndo em direção ao carrossel com velocidade e, quando chega perto, decide pular e se agarra na borda do carrossel, que está a uma distância do eixo. Inicialmente, o carrossel está parado, mas depois que a criança se agarra, o sistema (carrossel + criança) começa a girar. Porém, há um torque constante de atrito no eixo que faz com que o sistema pare de girar após um tempo . Nosso objetivo aqui é encontrar a aceleração angular do sistema.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica rotacional, como momento de inércia, torque e aceleração angular. Precisaremos lembrar das fórmulas para momento de inércia de um cilindro e para torque que causa aceleração angular.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o momento de inércia do sistema. O momento de inércia ( ) depende de como a massa está distribuída em relação ao eixo de rotação. Para um cilindro (o carrossel) girando em torno de seu eixo central, o momento de inércia é dado por:
Agora, a criança que pula no carrossel também contribui para o momento de inércia. Como ela está se movendo a uma distância do eixo, o momento de inércia dela é:
ç
Então, o momento de inércia total do sistema (carrossel + criança) é a soma dos dois:
ç

Passo 3

Agora, vamos considerar a energia ou o movimento inicial. Antes da criança pular no carrossel, o sistema está parado, então a quantidade de movimento angular inicial é zero. Quando a criança pula e se agarra ao carrossel, ela traz consigo uma quantidade de movimento angular.
A quantidade de movimento angular ( ) de uma partícula é dada por:
onde é a velocidade tangencial da partícula. No nosso caso, a criança tem velocidade e está a uma distância do eixo, então a quantidade de movimento angular dela é:
ç
Esse será o impulso inicial que fará o sistema começar a girar.

Passo 4

Com a quantidade de movimento angular inicial da criança, podemos determinar a velocidade angular inicial do sistema assim que a criança se agarra ao carrossel. Usamos a relação entre quantidade de movimento angular ( ), momento de inércia ( ) e velocidade angular ( ):
Assim, temos:
Resolvendo para , temos:
Essa é a velocidade angular inicial do sistema após a criança pular no carrossel.

Passo 5

Agora, vamos considerar o efeito do torque de atrito que atua contra o movimento. O torque ( ) está relacionado com a aceleração angular ( ) e o momento de inércia ( ) pela fórmula:
No nosso caso, o torque de atrito está fazendo o sistema desacelerar até parar após um tempo . Sabemos que a aceleração angular é constante, então podemos usar as equações do movimento angular para relacionar a velocidade angular inicial, a aceleração angular e o tempo.
A equação que relaciona a velocidade angular final ( ), a velocidade angular inicial ( ), a aceleração angular ( ) e o tempo ( ) é:
Como o sistema para após o tempo , a velocidade final é zero:
Resolvendo para :
O sinal negativo indica que a aceleração angular está na direção oposta ao movimento.

Passo 6

Agora, substituímos a expressão da velocidade angular inicial que encontramos no Passo 4 na equação acima:
Simplificando:

Resposta

A aceleração angular do sistema é:

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