Em um parque de diversões, há um pequeno carrossel de raio
e massa
. O carrossel consiste, na verdade, de um cilindro, que pode girar em torno de seu eixo vertical. Uma criança de massa
corre com velocidade
em direção a um ponto do carrossel, sendo que a projeção da linha que dá a direção de seu movimento passa a uma distância
do eixo do carrossel. A criança pula sobre o carrossel quando este está parado e se agarra a ele, ficando em sua borda. Contando a partir do instante em que a criança atinge o carrossel, o sistema pára de girar após um intervalo de tempo
. Considerando constante o torque do atrito no eixo do carrossel, determine a aceleração angular do sistema.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que está rolando no problema. Temos um carrossel (que é como um grande cilindro giratório) com raio
e massa
. Uma criança com massa
está correndo em direção ao carrossel com velocidade
e, quando chega perto, decide pular e se agarra na borda do carrossel, que está a uma distância
do eixo. Inicialmente, o carrossel está parado, mas depois que a criança se agarra, o sistema (carrossel + criança) começa a girar. Porém, há um torque constante de atrito no eixo que faz com que o sistema pare de girar após um tempo
. Nosso objetivo aqui é encontrar a aceleração angular do sistema.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica rotacional, como momento de inércia, torque e aceleração angular. Precisaremos lembrar das fórmulas para momento de inércia de um cilindro e para torque que causa aceleração angular.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o momento de inércia do sistema. O momento de inércia (
) depende de como a massa está distribuída em relação ao eixo de rotação. Para um cilindro (o carrossel) girando em torno de seu eixo central, o momento de inércia é dado por:
Agora, a criança que pula no carrossel também contribui para o momento de inércia. Como ela está se movendo a uma distância
do eixo, o momento de inércia dela é:
Então, o momento de inércia total do sistema (carrossel + criança) é a soma dos dois:
Passo 3
Agora, vamos considerar a energia ou o movimento inicial. Antes da criança pular no carrossel, o sistema está parado, então a quantidade de movimento angular inicial é zero. Quando a criança pula e se agarra ao carrossel, ela traz consigo uma quantidade de movimento angular.
A quantidade de movimento angular (
) de uma partícula é dada por:
onde
é a velocidade tangencial da partícula. No nosso caso, a criança tem velocidade
e está a uma distância
do eixo, então a quantidade de movimento angular dela é:
Esse será o impulso inicial que fará o sistema começar a girar.
Passo 4
Com a quantidade de movimento angular inicial da criança, podemos determinar a velocidade angular inicial do sistema assim que a criança se agarra ao carrossel. Usamos a relação entre quantidade de movimento angular (
), momento de inércia (
) e velocidade angular (
):
Assim, temos:
Resolvendo para
, temos:
Essa é a velocidade angular inicial do sistema após a criança pular no carrossel.
Passo 5
Agora, vamos considerar o efeito do torque de atrito que atua contra o movimento. O torque (
) está relacionado com a aceleração angular (
) e o momento de inércia (
) pela fórmula:
No nosso caso, o torque de atrito está fazendo o sistema desacelerar até parar após um tempo
. Sabemos que a aceleração angular é constante, então podemos usar as equações do movimento angular para relacionar a velocidade angular inicial, a aceleração angular e o tempo.
A equação que relaciona a velocidade angular final (
), a velocidade angular inicial (
), a aceleração angular (
) e o tempo (
) é:
Como o sistema para após o tempo
, a velocidade final
é zero:
Resolvendo para
:
O sinal negativo indica que a aceleração angular está na direção oposta ao movimento.
Passo 6
Agora, substituímos a expressão da velocidade angular inicial que encontramos no Passo 4 na equação acima:
Simplificando:
Resposta
A aceleração angular do sistema é:
Exercícios relacionados
Uma hélice construída com quatro tábuas idênticas, de modo a formar quatro ângulos retos (ver figura), gira sem atrito com velocidade
torno de um eixo preso ao seu centro. O momento de inércia do sistema em relação a esse eixo é
e o raio da hélice é
. Um menino atira no topo de uma das tábuas uma geléia de massa
que atinge a tábua perpendicularmente com uma velocidade
e fica grudada nela. Qual a variação da velocidade angular da hélice?
Duas crianças, cada uma com massa
, sentam-se nas extremidades opostas de uma barra de comprimento
e massa também
. A barra possui uma suspensão em seu centro e pode girar livremente em torno de um eixo vertical, num plano horizontal. Determine a variação da energia cinética do sistema em consequência da alteração da posição das crianças.
O carretel, visto de lado na figura ao lado, é uniforme, tem massa
e momento de inércia
em relação ao eixo que passa por seu centro de massa (perpendicular ao papel, na figura). O eixo e as rodas do carretel possuem raios
e
, respectivamente
. O carretel rola pela rampa de inclinação
, sobre seu eixo de raio
, partindo do repouso e de forma que não há deslizamento entre seu eixo e a superfície da rampa. Até o momento em que as rodas tocam o piso, seu centro de massa desce uma altura
. Calcule a aceleração angular do carretel ao descer a rampa.
Um ioiô tem massa
e momento de inércia
. O carretel em que se enrola o fio tem raio
. Determine a velocidade do ioiô, solto do repouso, após descer uma altura
utilizando considerações de energia.