Em um parque de diversões, há um pequeno carrossel de raio R e massa M. O carrossel consiste, na verdade, de um cilindro, que pode girar em torno de seu eixo vertical. Uma criança de massa m corre com velocidade v0 em direção a um ponto do carrossel, sendo que a projeção da linha que dá a direção de seu movimento passa a uma distância r do eixo do carrossel. A criança pula sobre o carrossel quando este está parado e se agarra a ele, ficando em sua borda. Contando a partir do instante em que a criança atinge o carrossel, o sistema pára de girar após um intervalo de tempo T. Considerando constante o torque do atrito no eixo do carrossel, determine a aceleração angular do sistema.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que está rolando no problema. Temos um carrossel (que é como um grande cilindro giratório) com raio R e massa M. Uma criança com massa m está correndo em direção ao carrossel com velocidade v0 e, quando chega perto, decide pular e se agarra na borda do carrossel, que está a uma distância r do eixo. Inicialmente, o carrossel está parado, mas depois que a criança se agarra, o sistema (carrossel + criança) começa a girar. Porém, há um torque constante de atrito no eixo que faz com que o sistema pare de girar após um tempo T. Nosso objetivo aqui é encontrar a aceleração angular do sistema.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica rotacional, como momento de inércia, torque e aceleração angular. Precisaremos lembrar das fórmulas para momento de inércia de um cilindro e para torque que causa aceleração angular.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o momento de inércia do sistema. O momento de inércia ( I) depende de como a massa está distribuída em relação ao eixo de rotação. Para um cilindro (o carrossel) girando em torno de seu eixo central, o momento de inércia é dado por:
Icarrossel = 12 M R^2
Agora, a criança que pula no carrossel também contribui para o momento de inércia. Como ela está se movendo a uma distância r do eixo, o momento de inércia dela é:
Icriança = m r^2 ç
Então, o momento de inércia total do sistema (carrossel + criança) é a soma dos dois:
Itotal = Icarrossel + Icriança = 12 M R^2 + m r^2 ç

Passo 3

Agora, vamos considerar a energia ou o movimento inicial. Antes da criança pular no carrossel, o sistema está parado, então a quantidade de movimento angular inicial é zero. Quando a criança pula e se agarra ao carrossel, ela traz consigo uma quantidade de movimento angular.
A quantidade de movimento angular ( L) de uma partícula é dada por:
L = m v r
onde v é a velocidade tangencial da partícula. No nosso caso, a criança tem velocidade v0 e está a uma distância r do eixo, então a quantidade de movimento angular dela é:
Lcriança = m v0 r ç
Esse será o impulso inicial que fará o sistema começar a girar.

Passo 4

Com a quantidade de movimento angular inicial da criança, podemos determinar a velocidade angular inicial do sistema assim que a criança se agarra ao carrossel. Usamos a relação entre quantidade de movimento angular ( L), momento de inércia ( I) e velocidade angular ( omega):
L = I omega
Assim, temos:
m v0 r = Itotal omega
Resolvendo para omega, temos:
omega = m v0 rItotal = m v0 r12 M R^2 + m r^2
Essa é a velocidade angular inicial do sistema após a criança pular no carrossel.

Passo 5

Agora, vamos considerar o efeito do torque de atrito que atua contra o movimento. O torque ( tau) está relacionado com a aceleração angular ( alpha) e o momento de inércia ( I) pela fórmula:
tau = I alpha
No nosso caso, o torque de atrito está fazendo o sistema desacelerar até parar após um tempo T. Sabemos que a aceleração angular é constante, então podemos usar as equações do movimento angular para relacionar a velocidade angular inicial, a aceleração angular e o tempo.
A equação que relaciona a velocidade angular final ( omegaf), a velocidade angular inicial ( omegai), a aceleração angular ( alpha) e o tempo ( T) é:
omegaf = omegai + alpha T
Como o sistema para após o tempo T, a velocidade final omegaf é zero:
0 = omegai + alpha T
Resolvendo para alpha:
alpha = -omegaiT
O sinal negativo indica que a aceleração angular está na direção oposta ao movimento.

Passo 6

Agora, substituímos a expressão da velocidade angular inicial que encontramos no Passo 4 na equação acima:
alpha = -omegaiT = -m v0 r12 M R^2 + m r^2T
Simplificando:
alpha = -m v0 r( 12 M R^2 + m r^2 ) T

Resposta

A aceleração angular do sistema é:
alpha = -m v0 r( 12 M R^2 + m r^2 ) T

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