Uma hélice construída com quatro tábuas idênticas, de modo a formar quatro ângulos retos (ver figura), gira sem atrito com velocidade torno de um eixo preso ao seu centro. O momento de inércia do sistema em relação a esse eixo é e o raio da hélice é . Um menino atira no topo de uma das tábuas uma geléia de massa que atinge a tábua perpendicularmente com uma velocidade e fica grudada nela. Qual a variação da velocidade angular da hélice?

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma hélice feita de quatro tábuas iguais, formando ângulos de 90 graus, que está girando sem atrito com uma certa velocidade angular . O momento de inércia dessa hélice em relação ao eixo de rotação é , e o raio da hélice é . Agora, um menino atira uma geléia de massa no topo de uma das tábuas, perpendicularmente, com velocidade , e essa geléia gruda na tábua. Queremos descobrir como a velocidade angular da hélice muda após esse impacto.
Para resolver isso, vamos usar o Princípio da Conservação do Momento Angular. Esse princípio diz que, se não houver torque externo agindo no sistema, o momento angular total antes de um evento é igual ao momento angular total depois do evento.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o momento angular inicial da hélice. O momento angular ( ) é dado por:
Onde:
  • é o momento de inércia da hélice.
  • é a velocidade angular inicial.
Agora, vamos considerar a geléia que está sendo atirada. A geléia tem massa e velocidade e ela atinge a tábua a uma distância do eixo de rotação, de forma perpendicular. O momento angular da geléia antes de atingir a hélice é:
é
Depois que a geléia gruda na tábua, ela passa a girar junto com a hélice. O novo momento de inércia da hélice com a geléia será:
De acordo com o Princípio da Conservação do Momento Angular:
é
Substituindo os valores:
Onde é a nova velocidade angular que queremos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos isolar para encontrar a variação da velocidade angular:
A variação na velocidade angular ( ) é a diferença entre a nova velocidade angular e a inicial:
Para simplificar:

Resposta

A variação da velocidade angular da hélice é:

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