Um ioiô tem massa
e momento de inércia
. O carretel em que se enrola o fio tem raio
. Determine a velocidade do ioiô, solto do repouso, após descer uma altura
utilizando considerações de energia.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre energia e movimento usando um ioiô. A questão nos dá a massa
do ioiô, o momento de inércia
, o raio
do carretel onde o fio está enrolado, e a altura
que o ioiô desce. Queremos descobrir qual é a velocidade do ioiô quando ele desce essa altura utilizando conceitos de energia. Para isso, vamos precisar entender como a energia potencial se transforma em energia cinética de translação e rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando o ioiô está no alto, ele tem energia potencial gravitacional devido à sua altura
. A fórmula para a energia potencial (
) é:
onde
é a aceleração da gravidade.
Passo 3
À medida que o ioiô desce, essa energia potencial se transforma em energia cinética. Mas não é só uma energia cinética de movimento para baixo, e sim duas: uma energia cinética de translação (
) devido à velocidade
com que o ioiô está descendo, e uma energia cinética de rotação (
) devido à sua rotação.
onde
é a velocidade angular.
Passo 4
Como o fio não se estica, a velocidade linear
do ioiô está relacionada com a velocidade angular
pelo raio
:
Substituindo
na expressão da energia cinética de rotação:
Passo 5
A energia potencial inicial se iguala à soma das energias cinéticas de translatação e rotação quando o ioiô desce a altura
:
Vamos fatorar
da direita:
Passo 6
Agora, isolamos
para resolver a velocidade:
E tiramos a raiz quadrada para encontrar
:
Resposta
A velocidade do ioiô após descer a altura
é:
Exercícios relacionados
O carretel, visto de lado na figura ao lado, é uniforme, tem massa
e momento de inércia
em relação ao eixo que passa por seu centro de massa (perpendicular ao papel, na figura). O eixo e as rodas do carretel possuem raios
e
, respectivamente
. O carretel rola pela rampa de inclinação
, sobre seu eixo de raio
, partindo do repouso e de forma que não há deslizamento entre seu eixo e a superfície da rampa. Até o momento em que as rodas tocam o piso, seu centro de massa desce uma altura
. Calcule a aceleração angular do carretel ao descer a rampa.
Em um parque de diversões, há um pequeno carrossel de raio
e massa
. O carrossel consiste, na verdade, de um cilindro, que pode girar em torno de seu eixo vertical. Uma criança de massa
corre com velocidade
em direção a um ponto do carrossel, sendo que a projeção da linha que dá a direção de seu movimento passa a uma distância
do eixo do carrossel. A criança pula sobre o carrossel quando este está parado e se agarra a ele, ficando em sua borda. Contando a partir do instante em que a criança atinge o carrossel, o sistema pára de girar após um intervalo de tempo
. Considerando constante o torque do atrito no eixo do carrossel, determine a aceleração angular do sistema.
A figura ao lado mostra um ioiô de massa
, raio
e momento de inércia
em relação a seu eixo. O ioiô está apoiado sobre uma superfície plana na qual existe atrito. Ele é puxado por uma força
horizontal constante, por meio de um fio enrolado em torno de seu eixo de raio
, sem que haja escorregamento entre o ioiô e a superfície. Faça o diagramas das forças que atuam no ioiô.
A figura ao lado mostra um ioiô de massa
, raio
e momento de inércia
em relação a seu eixo. O ioiô está apoiado sobre uma superfície plana na qual existe atrito. Ele é puxado por uma força
horizontal constante, por meio de um fio enrolado em torno de seu eixo de raio
, sem que haja escorregamento entre o ioiô e a superfície. Encontre o torque resultante sobre o ioiô em relação ao seu ponto de contacto com o piso (marcado com um
na figura) em termos de
, e
(o coeficiente de atrito estático não é conhecido).