Um ioiô tem massa M e momento de inércia I. O carretel em que se enrola o fio tem raio R. Determine a velocidade do ioiô, solto do repouso, após descer uma altura h utilizando considerações de energia.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre energia e movimento usando um ioiô. A questão nos dá a massa do ioiô, o momento de inércia , o raio do carretel onde o fio está enrolado, e a altura que o ioiô desce. Queremos descobrir qual é a velocidade do ioiô quando ele desce essa altura utilizando conceitos de energia. Para isso, vamos precisar entender como a energia potencial se transforma em energia cinética de translação e rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando o ioiô está no alto, ele tem energia potencial gravitacional devido à sua altura Ep = Mgh . A fórmula para a energia potencial ( ) é:
onde é a aceleração da gravidade.

Passo 3

À medida que o ioiô desce, essa energia potencial se transforma em energia cinética. Mas não é só uma energia cinética de movimento para baixo, e sim duas: uma energia cinética de translação ( Ec, transl = 12Mv^2 ) devido à velocidade Ec, rot = 12Iomega^2 com que o ioiô está descendo, e uma energia cinética de rotação ( ) devido à sua rotação.
onde é a velocidade angular.

Passo 4

Como o fio não se estica, a velocidade linear v = omega R Rightarrow omega = vR do ioiô está relacionada com a velocidade angular Ec, rot = 12I(vR)^2 = I v^22 R^2 pelo raio :
Substituindo na expressão da energia cinética de rotação:

Passo 5

A energia potencial inicial se iguala à soma das energias cinéticas de translatação e rotação quando o ioiô desce a altura Mgh = 12Mv^2 + I v^22 R^2 :
Mgh = v^22 ( M + IR^2 )
Vamos fatorar da direita:

Passo 6

Agora, isolamos v^2 = 2 MghM + IR^2 para resolver a velocidade:
v = raiz 2 MghM + IR^2
E tiramos a raiz quadrada para encontrar :

Resposta

A velocidade do ioiô após descer a altura v = raiz 2 MghM + IR^2 é:

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