Um ioiô tem massa
e momento de inércia
. O carretel em que se enrola o fio tem raio
. Determine a velocidade do ioiô, solto do repouso, após descer uma altura
utilizando considerações de energia.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre energia e movimento usando um ioiô. A questão nos dá a massa
do ioiô, o momento de inércia
, o raio
do carretel onde o fio está enrolado, e a altura
que o ioiô desce. Queremos descobrir qual é a velocidade do ioiô quando ele desce essa altura utilizando conceitos de energia. Para isso, vamos precisar entender como a energia potencial se transforma em energia cinética de translação e rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando o ioiô está no alto, ele tem energia potencial gravitacional devido à sua altura
. A fórmula para a energia potencial (
) é:
onde
é a aceleração da gravidade.
Passo 3
À medida que o ioiô desce, essa energia potencial se transforma em energia cinética. Mas não é só uma energia cinética de movimento para baixo, e sim duas: uma energia cinética de translação (
) devido à velocidade
com que o ioiô está descendo, e uma energia cinética de rotação (
) devido à sua rotação.
onde
é a velocidade angular.
Passo 4
Como o fio não se estica, a velocidade linear
do ioiô está relacionada com a velocidade angular
pelo raio
:
Substituindo
na expressão da energia cinética de rotação:
Passo 5
A energia potencial inicial se iguala à soma das energias cinéticas de translatação e rotação quando o ioiô desce a altura
:
Vamos fatorar
da direita:
Passo 6
Agora, isolamos
para resolver a velocidade:
E tiramos a raiz quadrada para encontrar
:
Resposta
A velocidade do ioiô após descer a altura
é: