Um ioiô tem massa e momento de inércia . O carretel em que se enrola o fio tem raio . Determine a velocidade do ioiô, solto do repouso, após descer uma altura utilizando considerações de energia.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre energia e movimento usando um ioiô. A questão nos dá a massa do ioiô, o momento de inércia , o raio do carretel onde o fio está enrolado, e a altura que o ioiô desce. Queremos descobrir qual é a velocidade do ioiô quando ele desce essa altura utilizando conceitos de energia. Para isso, vamos precisar entender como a energia potencial se transforma em energia cinética de translação e rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando o ioiô está no alto, ele tem energia potencial gravitacional devido à sua altura . A fórmula para a energia potencial ( ) é:
onde é a aceleração da gravidade.

Passo 3

À medida que o ioiô desce, essa energia potencial se transforma em energia cinética. Mas não é só uma energia cinética de movimento para baixo, e sim duas: uma energia cinética de translação ( ) devido à velocidade com que o ioiô está descendo, e uma energia cinética de rotação ( ) devido à sua rotação.
onde é a velocidade angular.

Passo 4

Como o fio não se estica, a velocidade linear do ioiô está relacionada com a velocidade angular pelo raio :
Substituindo na expressão da energia cinética de rotação:

Passo 5

A energia potencial inicial se iguala à soma das energias cinéticas de translatação e rotação quando o ioiô desce a altura :
Vamos fatorar da direita:

Passo 6

Agora, isolamos para resolver a velocidade:
E tiramos a raiz quadrada para encontrar :

Resposta

A velocidade do ioiô após descer a altura é:

Exercícios relacionados

O carretel, visto de lado na figura ao lado, é uniforme, tem massa e momento de inércia em relação ao eixo que passa por seu centro de massa (perpendicular ao papel, na figura). O eixo e as rodas do carretel possuem raios e , respectivamente . O carretel rola pela rampa de inclinação , sobre seu eixo de raio , partindo do repouso e de forma que não há deslizamento entre seu eixo e a superfície da rampa. Até o momento em que as rodas tocam o piso, seu centro de massa desce uma altura . Calcule a aceleração angular do carretel ao descer a rampa.
Em um parque de diversões, há um pequeno carrossel de raio e massa . O carrossel consiste, na verdade, de um cilindro, que pode girar em torno de seu eixo vertical. Uma criança de massa corre com velocidade em direção a um ponto do carrossel, sendo que a projeção da linha que dá a direção de seu movimento passa a uma distância do eixo do carrossel. A criança pula sobre o carrossel quando este está parado e se agarra a ele, ficando em sua borda. Contando a partir do instante em que a criança atinge o carrossel, o sistema pára de girar após um intervalo de tempo . Considerando constante o torque do atrito no eixo do carrossel, determine a aceleração angular do sistema.
A figura ao lado mostra um ioiô de massa , raio e momento de inércia em relação a seu eixo. O ioiô está apoiado sobre uma superfície plana na qual existe atrito. Ele é puxado por uma força horizontal constante, por meio de um fio enrolado em torno de seu eixo de raio , sem que haja escorregamento entre o ioiô e a superfície. Faça o diagramas das forças que atuam no ioiô.
A figura ao lado mostra um ioiô de massa , raio e momento de inércia em relação a seu eixo. O ioiô está apoiado sobre uma superfície plana na qual existe atrito. Ele é puxado por uma força horizontal constante, por meio de um fio enrolado em torno de seu eixo de raio , sem que haja escorregamento entre o ioiô e a superfície. Encontre o torque resultante sobre o ioiô em relação ao seu ponto de contacto com o piso (marcado com um na figura) em termos de , e (o coeficiente de atrito estático não é conhecido).