Um carrinho desliza do alto de uma montanha russa de altura h, com atrito desprezível (Figura 12). Chegando ao ponto A, o carrinho é freiado pelo terreno coberto de areia, parando em tau segundos. Qual é o coeficiente de atrito cinético entre o carrinho e a areia?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um carrinho que desliza de uma montanha russa de altura sem atrito e, ao chegar no ponto A, ele é freado por areia e para em segundos. Nosso objetivo é encontrar o coeficiente de atrito cinético entre o carrinho e a areia. Para resolver isso, vamos usar conceitos de conservação de energia e as leis do movimento, especificamente a segunda lei de Newton aplicada ao atrito.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir a velocidade do carrinho quando ele chega no ponto A. Como não há atrito na descida, toda a energia potencial gravitacional no topo se transforma em energia cinética no ponto A. A energia potencial é dada por mgh = 12mv^2 e a energia cinética por gh = 12v^2 . Igualando as duas:
2gh = v^2
Podemos simplificar v = raiz2gh dos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Tirando a raiz quadrada:
Então, a velocidade no ponto A é .

Passo 3

Agora que sabemos a velocidade no ponto A, vamos analisar a parada do carrinho na areia. A força de atrito que age sobre o carrinho é o que vai desacelerá-lo até parar. A força de atrito cinético é dada por:
f = muk N
Onde:
  • f = muk mg é o coeficiente de atrito cinético que queremos encontrar.
  • é a força normal, que, em um plano horizontal, é igual ao peso do carrinho: .
Então, a força de atrito fica:

Passo 4

De acordo com a segunda lei de Newton, a força resultante é igual à massa vezes a aceleração:
f = ma
Substituindo a força de atrito:
muk mg = ma
Podemos simplificar muk g = a dos dois lados:
Então, a aceleração é . Como o carrinho está desacelerando, a aceleração é negativa, mas vamos considerar apenas os valores positivos para simplificar.

Passo 5

Sabemos que o carrinho para em v = a tau segundos a partir da velocidade v = muk g tau . Usando a equação do movimento uniforme acelerado:
raiz2gh = muk g tau
Substituindo :
Temos a velocidade do Passo 2, então:

Passo 6

Agora, vamos isolar o coeficiente de atrito muk = raiz2ghg tau :
muk = raiz2h/gtau
Podemos simplificar muk = raiz2h/gtau :
Assim, o coeficiente de atrito cinético é:

Resposta

O coeficiente de atrito cinético entre o carrinho e a areia é:
muk = raiz2h/gtau

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