Um carrinho desliza do alto de uma montanha russa de altura
, com atrito desprezível (Figura 12). Chegando ao ponto A, o carrinho é freiado pelo terreno coberto de areia, parando em
segundos. Qual é o coeficiente de atrito cinético entre o carrinho e a areia?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um carrinho que desliza de uma montanha russa de altura
sem atrito e, ao chegar no ponto A, ele é freado por areia e para em
segundos. Nosso objetivo é encontrar o coeficiente de atrito cinético entre o carrinho e a areia. Para resolver isso, vamos usar conceitos de conservação de energia e as leis do movimento, especificamente a segunda lei de Newton aplicada ao atrito.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir a velocidade do carrinho quando ele chega no ponto A. Como não há atrito na descida, toda a energia potencial gravitacional no topo se transforma em energia cinética no ponto A. A energia potencial é dada por
e a energia cinética por
. Igualando as duas:
Podemos simplificar
dos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Tirando a raiz quadrada:
Então, a velocidade no ponto A é
.
Passo 3
Agora que sabemos a velocidade no ponto A, vamos analisar a parada do carrinho na areia. A força de atrito que age sobre o carrinho é o que vai desacelerá-lo até parar. A força de atrito cinético é dada por:
Onde:
-
é o coeficiente de atrito cinético que queremos encontrar. -
é a força normal, que, em um plano horizontal, é igual ao peso do carrinho: .
Então, a força de atrito fica:
Passo 4
De acordo com a segunda lei de Newton, a força resultante é igual à massa vezes a aceleração:
Substituindo a força de atrito:
Podemos simplificar
dos dois lados:
Então, a aceleração é
. Como o carrinho está desacelerando, a aceleração é negativa, mas vamos considerar apenas os valores positivos para simplificar.
Passo 5
Sabemos que o carrinho para em
segundos a partir da velocidade
. Usando a equação do movimento uniforme acelerado:
Substituindo
:
Temos a velocidade
do Passo 2, então:
Passo 6
Agora, vamos isolar o coeficiente de atrito
:
Podemos simplificar
:
Assim, o coeficiente de atrito cinético é:
Resposta
O coeficiente de atrito cinético entre o carrinho e a areia é: