Um carro deve fazer uma curva de raio 100 m numa pista plana e horizontal, com velocidade constante e igual a
. Admitindo-se
, pergunta-se: A que angulo
se deve elevar o leito da pista para que o carro possa fazer a mesma curva com velocidade constante de
, independente do atrito?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um carro que está fazendo uma curva com raio de 100 metros numa pista plana e horizontal, e inicialmente está viajando a 72 km/h. A pergunta quer saber qual é o ângulo
que devemos inclinar a pista para que o carro possa fazer a mesma curva a uma velocidade maior, de 144 km/h, sem depender da força de atrito. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento circular e forças em planos inclinados.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as velocidades de km/h para m/s, porque as unidades de medida no Sistema Internacional estão em metros e segundos.
A fórmula para converter km/h para m/s é:
Para 72 km/h:
Para 144 km/h:
Passo 3
Agora, vamos lembrar da força centrípeta necessária para manter o carro na curva. A força centrípeta (
) é dada por:
onde:
-
é a massa do carro, -
é a velocidade, -
é o raio da curva.
Como queremos que o carro faça a curva sem atrito, a força que vai fornecer essa força centrípeta é a componente da força normal da pista. Quando a pista está inclinada, a força normal tem uma componente horizontal que atua como centrípeta.
Passo 4
Vamos desenhar as forças atuando no carro:
- Força gravitacional (
) atuando para baixo. - Força normal (
) perpendicular à superfície da pista inclinada.
As componentes da força normal serão:
- Horizontal:
(que fornece a força centrípeta) - Vertical:
(que equilibra a força gravitacional)
Como não há aceleração vertical, temos:
Passo 5
A força centrípeta necessária é igual à componente horizontal da força normal:
Substituindo
da equação anterior:
Passo 6
Simplificando a equação, cancelamos
dos dois lados:
Passo 7
Isolando
:
Passo 8
Agora, substituímos os valores para encontrar
quando
:
Passo 9
Para encontrar o ângulo
, usamos a função tangente inversa:
Resposta
O ângulo
que a pista deve ser inclinada é aproximadamente
.