Um carro deve fazer uma curva de raio 100 m numa pista plana e horizontal, com velocidade constante e igual a 72 km / h. Admitindo-se g=10 m / s^2, pergunta-se: A que angulo theta se deve elevar o leito da pista para que o carro possa fazer a mesma curva com velocidade constante de 144 km / h, independente do atrito?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um carro que está fazendo uma curva com raio de 100 metros numa pista plana e horizontal, e inicialmente está viajando a 72 km/h. A pergunta quer saber qual é o ângulo theta que devemos inclinar a pista para que o carro possa fazer a mesma curva a uma velocidade maior, de 144 km/h, sem depender da força de atrito. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento circular e forças em planos inclinados.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as velocidades de km/h para m/s, porque as unidades de medida no Sistema Internacional estão em metros e segundos.
A fórmula para converter km/h para m/s é:
Velocidade (m/s) = Velocidade (km/h) times 10003600
Para 72 km/h:
72 times 10003600 = 20 m/s
Para 144 km/h:
144 times 10003600 = 40 m/s

Passo 3

Agora, vamos lembrar da força centrípeta necessária para manter o carro na curva. A força centrípeta ( Fc) é dada por:
Fc = m v^2r
onde:
  • m é a massa do carro,
  • v é a velocidade,
  • r é o raio da curva.
Como queremos que o carro faça a curva sem atrito, a força que vai fornecer essa força centrípeta é a componente da força normal da pista. Quando a pista está inclinada, a força normal tem uma componente horizontal que atua como centrípeta.

Passo 4

Vamos desenhar as forças atuando no carro:
  • Força gravitacional ( mg) atuando para baixo.
  • Força normal ( N) perpendicular à superfície da pista inclinada.
As componentes da força normal serão:
  • Horizontal: N sintheta (que fornece a força centrípeta)
  • Vertical: N costheta (que equilibra a força gravitacional)
Como não há aceleração vertical, temos:
N costheta = mg
N = mgcostheta

Passo 5

A força centrípeta necessária é igual à componente horizontal da força normal:
N sintheta = m v^2r
Substituindo N da equação anterior:
mgcostheta sintheta = m v^2r

Passo 6

Simplificando a equação, cancelamos m dos dois lados:
g sinthetacostheta = v^2r
g tantheta = v^2r

Passo 7

Isolando tantheta:
tantheta = v^2r g

Passo 8

Agora, substituímos os valores para encontrar theta quando v = 40 m/s:
tantheta = 40^2100 times 10 = 16001000 = 1,6

Passo 9

Para encontrar o ângulo theta, usamos a função tangente inversa:
theta = arctan(1,6) approx 58^circ

Resposta

O ângulo theta que a pista deve ser inclinada é aproximadamente 58^circ.

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