Uma partícula se move de um ponto A dado por Ra=(4 x-2 y+3 z) m até um ponto B em Rb=(2 x+4 y-z) m. Determine (a) a distância da partícula em A até a origem do referencial; (b) a distância da partícula em B até a origem do referencial; © o vetor deslocamento da partícula de A até B ; (d) A distância percorrida pela partícula no trajeto A até B .

Passo 1

Vamos lá! Temos um exercício de Física envolvendo vetores no espaço tridimensional. Precisamos calcular distâncias de dois pontos até a origem, determinar o vetor deslocamento entre eles e a distância que a partícula percorre ao ir de A para B. Para isso, vamos usar conceitos de vetores, cálculo de módulo e diferença entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as posições dos pontos A e B. Cada posição é representada por um vetor no formato R = xx + yy + zz, onde x, y e z são as coordenadas no espaço.

Passo 3

Para calcular a distância da partícula em A até a origem, precisamos encontrar o módulo do vetor Ra. O módulo de um vetor R = xx + yy + zz é dado por:
|R| = raizx^2 + y^2 + z^2

Passo 4

Aplicando a fórmula para Ra = (4x - 2y + 3z),m:
|Ra| = raiz4^2 + (-2)^2 + 3^2 = raiz16 + 4 + 9 = raiz29 approx 5,385,m

Passo 5

Agora, vamos calcular a distância da partícula em B até a origem usando Rb = (2x + 4y - z),m:
|Rb| = raiz2^2 + 4^2 + (-1)^2 = raiz4 + 16 + 1 = raiz21 approx 4,583,m

Passo 6

Para encontrar o vetor deslocamento da partícula de A até B, subtraímos o vetor posição de A do vetor posição de B:
D = Rb - Ra

Passo 7

Calculando D:
D = (2x + 4y - z) - (4x - 2y + 3z) = (2-4)x + (4-(-2))y + (-1-3)z = -2x + 6y -4z

Passo 8

Para encontrar a distância percorrida no trajeto de A até B, calculamos o módulo do vetor deslocamento D:
|D| = raiz(-2)^2 + 6^2 + (-4)^2 = raiz4 + 36 + 16 = raiz56 approx 7,483,m

Resposta

(a) A distância da partícula em A até a origem é aproximadamente 5,385 metros.
(b) A distância da partícula em B até a origem é aproximadamente 4,583 metros.
© O vetor deslocamento de A até B é D = -2x + 6y -4z metros.
(d) A distância percorrida pela partícula no trajeto de A até B é aproximadamente 7,483 metros.

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