Uma partícula de massa
está na posição
em relação à origem. Qual deve ser sua velocidade para que seu momento angular seja nulo?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma partícula de massa
posicionada em
em relação à origem. A questão pede para descobrir qual deve ser a velocidade dela para que o momento angular seja nulo. Para resolver isso, vamos trabalhar com a definição de momento angular e entender como a velocidade influencia ele.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o momento angular. O momento angular
de uma partícula é dado pelo produto vetorial entre a posição
e o momento linear
:
Onde o momento linear
é o produto da massa pela velocidade:
Então, podemos reescrever o momento angular como:
Passo 3
Queremos que o momento angular seja nulo, ou seja,
. Isso significa que o produto vetorial entre
e
deve ser zero:
Para que o produto vetorial de dois vetores seja zero, os vetores devem ser colineares, ou seja, um é múltiplo escalar do outro. Portanto, a velocidade
deve ser paralela à posição
.
Passo 4
Vamos expressar isso matematicamente. Se
é paralela a
, então existe um escalar
tal que:
Substituindo
pelos valores dados:
Aqui,
pode ser qualquer número real, inclusive zero. Isso significa que a velocidade pode ser qualquer múltiplo da direção de
para garantir que o momento angular seja nulo.
Resposta
A velocidade da partícula deve ser um múltiplo escalar do vetor posição, ou seja,
onde
é um número real qualquer.