Uma partícula de massa m=1 kg está na posição R=(3 x-y+2 z) m em relação à origem. Qual deve ser sua velocidade para que seu momento angular seja nulo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma partícula de massa m = 1 , kg posicionada em R = (3, x - y + 2, z) , m em relação à origem. A questão pede para descobrir qual deve ser a velocidade dela para que o momento angular seja nulo. Para resolver isso, vamos trabalhar com a definição de momento angular e entender como a velocidade influencia ele.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o momento angular. O momento angular L de uma partícula é dado pelo produto vetorial entre a posição R e o momento linear p:
L = R times p
Onde o momento linear p é o produto da massa pela velocidade:
p = m v
Então, podemos reescrever o momento angular como:
L = R times (m v)

Passo 3

Queremos que o momento angular seja nulo, ou seja, L = 0. Isso significa que o produto vetorial entre R e v deve ser zero:
R times v = 0
Para que o produto vetorial de dois vetores seja zero, os vetores devem ser colineares, ou seja, um é múltiplo escalar do outro. Portanto, a velocidade v deve ser paralela à posição R.

Passo 4

Vamos expressar isso matematicamente. Se v é paralela a R, então existe um escalar k tal que:
v = k R
Substituindo R pelos valores dados:
v = k (3, x - y + 2, z) , m/s
Aqui, k pode ser qualquer número real, inclusive zero. Isso significa que a velocidade pode ser qualquer múltiplo da direção de R para garantir que o momento angular seja nulo.

Resposta

A velocidade da partícula deve ser um múltiplo escalar do vetor posição, ou seja,
v = k, (3, x - y + 2, z) , m/s
onde k é um número real qualquer.

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