Um carro de montanha-russa de 2.000 lb sim 1.000 Kg parte do repouso no ponto 1 a 40 ft sim 12 m de altura e se move sem atrito ao longo do trilho mostrado. (b) Determine o valor mínimo seguro do raio de curvatura no ponto 3 a 15 ft sim 4,5 m de altura.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um carrinho de montanha-russa que começa parado no ponto 1, a uma altura de 12 metros, e precisa a gente descobrir qual o raio de curvatura mínimo que o trilho deve ter no ponto 3, que está a 4,5 metros de altura. A matéria envolvida aqui é a conservação de energia e forças em movimento circular. Vamos precisar usar essas ideias para achar a resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na conservação de energia. Como não tem atrito, a energia total do carrinho se mantém constante. No ponto 1, toda a energia é potencial gravitacional, porque o carrinho está parado. No ponto 3, parte dessa energia virou energia cinética porque o carrinho está se movendo.
A fórmula da energia potencial gravitacional é:
Ep = m cdot g cdot h
E a da energia cinética é:
Ek = 12 m cdot v^2
Onde:
  • é a massa (1000 kg)
  • é a aceleração da gravidade (aprox. )
  • é a altura
  • é a velocidade

Passo 3

Vamos aplicar a conservação de energia entre os pontos 1 e 3. No ponto 1:
Ep1 = m cdot g cdot h1
No ponto 3:
Ep3 + Ek3 = m cdot g cdot h3 + 12 m cdot v^2
Como a energia se conserva:
m cdot g cdot h1 = m cdot g cdot h3 + 12 m cdot v^2

Passo 4

Vamos simplificar a equação dividindo por g cdot h1 = g cdot h3 + 12 v^2 :
v^2 = 2g (h1 - h3)
Agora, isolamos v^2 = 2 cdot 9,8 cdot (12 - 4,5) :
v^2 = 19,6 cdot 7,5
Substituindo os valores:
v^2 = 147
v = raiz147 approx 12,12 , m/s

Passo 5

Agora, vamos determinar o raio de curvatura mínimo no ponto 3 para que o carrinho não perca o contato com a pista. Para isso, a força centrípeta precisa ser pelo menos igual à força gravitacional. A fórmula para a força centrípeta é:
Fc = m cdot v^2r
No ponto crítico, a força normal Fc = m cdot g é zero, então:
m cdot v^2r = m cdot g
v^2r = g
Podemos cancelar r = v^2g dos dois lados:
r = 1479,8
r = 15 , metros
Substituindo e :

Resposta

O raio de curvatura mínimo seguro no ponto 3 é de 15 metros.

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