Um carro de montanha-russa de 2.000 lb sim 1.000 Kg parte do repouso no ponto 1 a 40 ft sim 12 m de altura e se move sem atrito ao longo do trilho mostrado. (a) Determine a força exercida pela pista sobre o carro no ponto 2, onde o raio de curvatura da pista é 20 ft sim 6 m.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um carro de montanha-russa que pesa 1000 kg e começa parado no ponto 1, que está a 12 metros de altura. Ele desce sem atrito até o ponto 2, onde a pista faz uma curva com raio de 6 metros. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a força que a pista exerce sobre o carro nesse ponto 2.
Para resolver isso, vamos usar dois conceitos principais: conservação da energia para achar a velocidade do carro no ponto 2 e a segunda lei de Newton aplicada ao movimento circular para encontrar a força que a pista está exercendo.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na conservação da energia. Como não tem atrito, a energia que o carro tem lá no topo (energia potencial) vai ser toda convertida em energia de movimento (energia cinética) quando ele chega no ponto 2.
A energia potencial é dada por:
Ep = m cdot g cdot h
onde:
  • é a massa do carro (1000 kg),
  • é a aceleração da gravidade (aproximadamente ²),
  • é a altura (12 m).

Passo 3

A energia cinética no ponto 2 é:
Ek = 12 m v^2
onde m cdot g cdot h = 12 m v^2 é a velocidade do carro no ponto 2.
Como a energia potencial total do ponto 1 vira energia cinética no ponto 2:
g cdot h = 12 v^2
A massa aparece dos dois lados da equação, então podemos cancelar:

Passo 4

Agora, vamos resolver para v^2 = 2 cdot g cdot h :
v = raiz2 cdot g cdot h
v = raiz2 cdot 9,8 , m/s² cdot 12 , m
Substituindo os valores:
v = raiz235,2 approx 15,34 , m/s ²
Então, a velocidade do carro no ponto 2 é aproximadamente .

Passo 5

Agora que sabemos a velocidade, vamos usar a segunda lei de Newton para movimento circular, que nos diz que a força resultante para manter o movimento circular é a força centrípeta:
Fc = m cdot v^2r
onde:
  • Fc = 1000 , kg cdot (15,34 , m/s)^26 , m é a massa (1000 kg),
  • Fc = 1000 cdot 235,26 é a velocidade ( Fc approx 39.200 , N ),
  • é o raio da curva (6 m).
Vamos calcular:

Passo 6

A força que a pista exerce sobre o carro, conhecida como força normal ( N = m cdot g + Fc ), precisa não só fornecer a força centrípeta, mas também equilibrar o peso do carro. Assim, temos:
N = 1000 , kg cdot 9,8 , m/s² + 39.200 , N
Substituindo os valores:
N = 9.800 , N + 39.200 , N ²
N = 49.000 , N

Resposta

A força exercida pela pista sobre o carro no ponto 2 é de aproximadamente 49.000 N.

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