A geodésica é a curva com menor comprimento que liga dois pontos sobre uma superfície. Considere uma superfície esférica de raio R. Encontre a geodésica sobre essa superfície. Dica: use a equação de Euler na forma apresentada no problema 7.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre encontrar a geodésica em uma superfície esférica de raio
. Geodésica é basicamente o caminho mais curto entre dois pontos em uma superfície. Para resolver isso, vamos usar a equação de Euler, que nos ajuda a determinar essas curvas especiais. Vou te guiar passo a passo para achar essa geodésica.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que em uma esfera, as geodésicas são os grandes círculos. Um grande círculo é um círculo cuja circunferência é igual à do círculo máximo da esfera, ou seja, passa pelo centro da esfera. Exemplos de grandes círculos são o Equador e os meridianos.
Passo 3
Para provar isso usando a equação de Euler, consideramos as coordenadas esféricas. A equação geral para uma geodésica em coordenadas esféricas (
) pode ser derivada da minimização do comprimento do caminho. A equação de Euler para esse caso nos leva à conclusão de que a trajetória que minimiza o comprimento é um grande círculo.
Passo 4
Matematicamente, podemos parametrizar um grande círculo mantendo uma relação linear entre os ângulos. Por exemplo, se fixarmos uma inclinação
, a equação da geodésica pode ser expressa como:
Isso descreve um grande círculo na esfera.
Passo 5
Vamos confirmar que essa curva tem o menor comprimento. O comprimento de um arco de grande círculo entre dois pontos na esfera é dado por:
onde
é o ângulo central correspondente aos dois pontos. Esse é de fato o menor caminho possível na superfície esférica entre os dois pontos.
Resposta
A geodésica em uma superfície esférica de raio
é um grande círculo, cuja equação pode ser representada por
.
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