Uma partícula move-se em linha reta tal que sua distância x a origem é dada pela equação
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos uma partícula que se move em linha reta, e a distância dela à origem (que a gente chama de
) está relacionada ao tempo
pela equação:
Aqui,
e
são constantes. Nosso objetivo é encontrar a velocidade
e a aceleração
da partícula em função da posição
. Para isso, vamos mexer com derivadas, que é um conceito de Cálculo Diferencial que nos ajuda a entender como as coisas mudam.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação para
em função de
. A equação dada é:
Para isolar
, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Passo 3
Agora, queremos encontrar a velocidade
, que é a derivada da posição
em relação ao tempo
. A velocidade nos diz quão rápido a posição está mudando.
A derivada de
em relação a
é:
Passo 4
Para resolver essa derivada, usamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
, e depois multiplicamos pela derivada de
em relação a
.
Então,
Passo 5
Agora, queremos expressar a velocidade em função de
em vez de
. Da equação original:
Resolvendo para
:
Passo 6
Substituindo
na expressão de
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos encontrar a aceleração
, que é a derivada da velocidade
em relação ao tempo
. Mas como queremos a aceleração em função de
, vamos usar a relação
.
Primeiro, encontramos
:
Derivando em relação a
:
Simplificando:
Passo 8
Agora, lembrando que
, podemos escrever a aceleração como:
Passo 9
Simplificando a expressão:
Simplificando ainda mais:
Resposta
Então, resumindo:
A velocidade em função da posição é:
E a aceleração em função da posição é:
Exercícios relacionados
Um carro move-se em uma estrada reța.Quando êle passa a partir de uma posição O o motor é desligado. No tempo t , decomido após êle ter passado por O , a velocidade do carro v , é
, A e B constantes positivas. a) Mostre que a desaceleração é proporcional a v ao quadrado. b) Se distância a partir de O no tempo t , ache
.
Uma partícula move-se em linha reta tal que no tempo
desde o inicio do movimento seu deslocamento a partir de um ponto
sua velocidade é
(k uma constante)
quando
)Calcule:
a)Ä aceleração inicial da partícula. b) O valor de x quando ; c) A equação para. v como funçãõ de t.
a)Ä aceleração inicial da partícula. b) O valor de x quando
Usando a definição de derivada, calcule as derivadas das seguintes funções: b)
Três corpos A, B e C de massas
e
estão inicialmente em repouso em
nas posições dadas pelos vetores
,
e
,. Cada uma sofre a ação de uma força externa. Essas forças são dadas por
e
. Calcule:
a) a posição do centro de massa do sistema em
a) a posição do centro de massa do sistema em