Uma partícula move-se em linha reta tal que sua distância x a origem é dada pela equação
x^2=alpha^2+beta^2 tj^2 alpha e beta sendo constantes Encontre v(x) e a(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos uma partícula que se move em linha reta, e a distância dela à origem (que a gente chama de x^2 = alpha^2 + beta^2 t^2 ) está relacionada ao tempo pela equação:
Aqui, e são constantes. Nosso objetivo é encontrar a velocidade e a aceleração da partícula em função da posição . Para isso, vamos mexer com derivadas, que é um conceito de Cálculo Diferencial que nos ajuda a entender como as coisas mudam.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação para x^2 = alpha^2 + beta^2 t^2 em função de x = raizalpha^2 + beta^2 t^2 . A equação dada é:
Para isolar , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:

Passo 3

Agora, queremos encontrar a velocidade v(t) = dxdt = ddt ( raizalpha^2 + beta^2 t^2 ) , que é a derivada da posição em relação ao tempo . A velocidade nos diz quão rápido a posição está mudando.
A derivada de em relação a é:

Passo 4

Para resolver essa derivada, usamos a regra da cadeia. A derivada de v(t) = 12raizalpha^2 + beta^2 t^2 cdot 2beta^2 t = beta^2 traizalpha^2 + beta^2 t^2 em relação a é , e depois multiplicamos pela derivada de em relação a .
Então,

Passo 5

Agora, queremos expressar a velocidade em função de x^2 = alpha^2 + beta^2 t^2 implies beta^2 t^2 = x^2 - alpha^2 em vez de t = raizx^2 - alpha^2beta . Da equação original:
Resolvendo para :

Passo 6

Substituindo v(x) = beta^2 cdot raizx^2 - alpha^2betaraizalpha^2 + beta^2 ( raizx^2 - alpha^2beta )^2 na expressão de v(x) = beta raizx^2 - alpha^2x :
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos encontrar a aceleração v(x) = beta raizx^2 - alpha^2x , que é a derivada da velocidade dvdx = beta ( 12(2x)x cdot 2raizx^2 - alpha^2 - raizx^2 - alpha^2x^2 ) = beta ( xx raizx^2 - alpha^2 - raizx^2 - alpha^2x^2 ) em relação ao tempo dvdx = beta ( 1raizx^2 - alpha^2 - raizx^2 - alpha^2x^2 ) . Mas como queremos a aceleração em função de , vamos usar a relação .
Primeiro, encontramos :
Derivando em relação a :
Simplificando:

Passo 8

Agora, lembrando que a(x) = dvdt = dvdx cdot dxdt = beta ( 1raizx^2 - alpha^2 - raizx^2 - alpha^2x^2 ) cdot beta raizx^2 - alpha^2x , podemos escrever a aceleração como:

Passo 9

Simplificando a expressão:
a(x) = beta^2 ( 1raizx^2 - alpha^2 - raizx^2 - alpha^2x^2 ) cdot raizx^2 - alpha^2x
a(x) = beta^2 ( xx raizx^2 - alpha^2 - x^2 - alpha^2x^3 )
Simplificando ainda mais:
a(x) = beta^2 ( 1raizx^2 - alpha^2 - x^2 - alpha^2x^3 )

Resposta

Então, resumindo:
A velocidade em função da posição é:
v(x) = beta raizx^2 - alpha^2x
E a aceleração em função da posição é:
a(x) = beta^2 ( 1raizx^2 - alpha^2 - x^2 - alpha^2x^3 )

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