Uma partícula move-se em linha reta tal que sua distância x a origem é dada pela equação

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos uma partícula que se move em linha reta, e a distância dela à origem (que a gente chama de ) está relacionada ao tempo pela equação:
Aqui, e são constantes. Nosso objetivo é encontrar a velocidade e a aceleração da partícula em função da posição . Para isso, vamos mexer com derivadas, que é um conceito de Cálculo Diferencial que nos ajuda a entender como as coisas mudam.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação para em função de . A equação dada é:
Para isolar , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:

Passo 3

Agora, queremos encontrar a velocidade , que é a derivada da posição em relação ao tempo . A velocidade nos diz quão rápido a posição está mudando.
A derivada de em relação a é:

Passo 4

Para resolver essa derivada, usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , e depois multiplicamos pela derivada de em relação a .
Então,

Passo 5

Agora, queremos expressar a velocidade em função de em vez de . Da equação original:
Resolvendo para :

Passo 6

Substituindo na expressão de :
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos encontrar a aceleração , que é a derivada da velocidade em relação ao tempo . Mas como queremos a aceleração em função de , vamos usar a relação .
Primeiro, encontramos :
Derivando em relação a :
Simplificando:

Passo 8

Agora, lembrando que , podemos escrever a aceleração como:

Passo 9

Simplificando a expressão:
Simplificando ainda mais:

Resposta

Então, resumindo:
A velocidade em função da posição é:
E a aceleração em função da posição é:

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