Usando a definição de derivada, calcule as derivadas das seguintes funções: b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função
usando a definição de derivada. Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especificamente entender como a derivada representa a taxa de variação da função em relação a
. Vamos precisar aplicar a definição básica de derivada para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada. A derivada de uma função
em um ponto
é dada por:
Isso significa que vamos calcular o limite à medida que
se aproxima de zero da razão entre a variação de
e a variação de
.
Passo 3
Vamos aplicar essa definição à nossa função
. Substituindo na fórmula, temos:
Agora, precisamos simplificar a expressão
.
Passo 4
Usando a identidade trigonométrica para o seno da soma de dois ângulos, sabemos que:
Substituindo na expressão anterior:
Passo 5
Vamos agrupar os termos semelhantes:
Agora, podemos separar o limite em duas partes:
Passo 6
Sabemos de limites fundamentais que:
E também que:
Substituindo esses valores:
Resposta
A derivada de
é
.
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Um carro move-se em uma estrada reța.Quando êle passa a partir de uma posição O o motor é desligado. No tempo t , decomido após êle ter passado por O , a velocidade do carro v , é
, A e B constantes positivas. a) Mostre que a desaceleração é proporcional a v ao quadrado. b) Se distância a partir de O no tempo t , ache
.
Três corpos A, B e C de massas
e
estão inicialmente em repouso em
nas posições dadas pelos vetores
,
e
,. Cada uma sofre a ação de uma força externa. Essas forças são dadas por
e
. Calcule:
a) a posição do centro de massa do sistema em
a) a posição do centro de massa do sistema em
Três corpos A, B e C de massas
e
estão inicialmente em repouso em
nas posições dadas pelos vetores
,
e
,. Cada uma sofre a ação de uma força externa. Essas forças são dadas por
e
. Calcule:
c) a posição do centro de massa do sistema em
c) a posição do centro de massa do sistema em