Usando a definição de derivada, calcule as derivadas das seguintes funções: b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função usando a definição de derivada. Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especificamente entender como a derivada representa a taxa de variação da função em relação a . Vamos precisar aplicar a definição básica de derivada para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada. A derivada de uma função em um ponto é dada por:
Isso significa que vamos calcular o limite à medida que se aproxima de zero da razão entre a variação de e a variação de .

Passo 3

Vamos aplicar essa definição à nossa função . Substituindo na fórmula, temos:
Agora, precisamos simplificar a expressão .

Passo 4

Usando a identidade trigonométrica para o seno da soma de dois ângulos, sabemos que:
Substituindo na expressão anterior:

Passo 5

Vamos agrupar os termos semelhantes:
Agora, podemos separar o limite em duas partes:

Passo 6

Sabemos de limites fundamentais que:
E também que:
Substituindo esses valores:

Resposta

A derivada de é .

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