Usando a definição de derivada, calcule as derivadas das seguintes funções: b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função
usando a definição de derivada. Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especificamente entender como a derivada representa a taxa de variação da função em relação a
. Vamos precisar aplicar a definição básica de derivada para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada. A derivada de uma função
em um ponto
é dada por:
Isso significa que vamos calcular o limite à medida que
se aproxima de zero da razão entre a variação de
e a variação de
.
Passo 3
Vamos aplicar essa definição à nossa função
. Substituindo na fórmula, temos:
Agora, precisamos simplificar a expressão
.
Passo 4
Usando a identidade trigonométrica para o seno da soma de dois ângulos, sabemos que:
Substituindo na expressão anterior:
Passo 5
Vamos agrupar os termos semelhantes:
Agora, podemos separar o limite em duas partes:
Passo 6
Sabemos de limites fundamentais que:
E também que:
Substituindo esses valores:
Resposta
A derivada de
é
.