Usando a definição de derivada, calcule as derivadas das seguintes funções: b) f(x)=sin (x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função usando a definição de derivada. Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especificamente entender como a derivada representa a taxa de variação da função em relação a . Vamos precisar aplicar a definição básica de derivada para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada. A derivada de uma função f'(x) = limh to 0 f(x + h) - f(x)h em um ponto é dada por:
Isso significa que vamos calcular o limite à medida que se aproxima de zero da razão entre a variação de e a variação de .

Passo 3

Vamos aplicar essa definição à nossa função f'(x) = limh to 0 sin(x + h) - sin(x)h . Substituindo na fórmula, temos:
Agora, precisamos simplificar a expressão .

Passo 4

Usando a identidade trigonométrica para o seno da soma de dois ângulos, sabemos que:
sin(x + h) = sin(x)cos(h) + cos(x)sin(h)
Substituindo na expressão anterior:
f'(x) = limh to 0 sin(x)cos(h) + cos(x)sin(h) - sin(x)h

Passo 5

Vamos agrupar os termos semelhantes:
f'(x) = limh to 0 sin(x)(cos(h) - 1) + cos(x)sin(h)h
Agora, podemos separar o limite em duas partes:
f'(x) = sin(x) cdot limh to 0 cos(h) - 1h + cos(x) cdot limh to 0 sin(h)h

Passo 6

Sabemos de limites fundamentais que:
limh to 0 sin(h)h = 1
E também que:
limh to 0 cos(h) - 1h = 0
Substituindo esses valores:
f'(x) = sin(x) cdot 0 + cos(x) cdot 1 = cos(x)

Resposta

A derivada de é .

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